极端原理与无穷递降

极端原理与无穷递降法

一、最小数原理、极端原理、极端原则

最小数原理：自然数集组成的非空子集中，一定有一个最小数

极端原理：有限个实数组成的非空集合中，一定有一个最大数，也一定有一个最小数

极端原则：要从某堆东西中找出某件东西，如果能根据这些东西的某种特征让它们排成一行，使得那

件东西或者排在第一个或者排在最后一个，从而把它找出来，这种方法称为极端原则

例1、（1）在平面上有n个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这n个点中的两个点

（2）给定空间中n个不共面的点，试证：必存在一个恰好经过三个给定点的圆

例2、（1）平面上有n个点，任意三点不共线，证明：可以以这n个点为顶点连成一个边不自相交的简单n边形

（2）平面上有2n个点，任意三点不共线，其中有n个红点与n个蓝点，证明：可以把这2n个点连成n条互不相交的线段，而且线段的两端不同色

例3、（1）平面上有n个点，n?5，或是红点或是蓝点，而且任意三个同色点不共线，证明：存在一个三个顶点同色的三角形，该三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点

（2）空间中有20个点，或是红点或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，证明：存在一个四个顶点同色的四面体，该四面体至少有一侧面不含另一种颜色的点

例4、在一个环形公路上有n个汽车站，每一站都存有若干汽油，n个站的总存油量可供一辆汽车在环形公路行驶一圈，现有一辆原来没有汽油的汽车，要在环形公路上按规定的方向跑一圈，它从某一站出发，带上这个站的全部存油，如果能走到下一站，又把该站的存油全部带上，证明：必有一个站，汽车从该站出发，可以环行一周而不会因为缺油而中途停车

例5、有2n个人围坐在一张圆桌旁，每个人在席中至少有n个朋友，证明：可以适当安排他们的座位，使得任意两个相邻的人是朋友

例6、在某次舞会上，每一个男孩都未能与所有的女孩跳过舞，而每一个女孩都至少与某一男孩跳过舞，证明：舞会上有这样的两个男孩与两个女孩，他们可以结成两对，同一对的男孩与女孩跳过舞，不在同一对的男孩与女孩没有一起跳过舞

例7、证明：（1）任何一场循环赛中必有冠军；

（2）如果循环赛中的冠军只有一位，则他必是绝对冠军； （3）任何一场循环赛都不可能恰好有两名冠军

例8、（1）在8?8方格表上填写1,2,?,64个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于5；

（2）在9?9方格表上填写1,2,?,81个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于6；

（3）在n?n方格表上填写1,2,?,n个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于n

2例9、（1）平面上有五个点，其中任意三点不共线，求证：其中必有四个点能构成一个凸四边形；

2（2）平面上有n个点，n?5，任意三点不共线，求证：其中必有Cn?3个以给定点为顶点的凸四边形；

（3）平面上有n个点，n?5，任意三点不共线，求证：其中必有一个以给定点为顶点的凸四边形，该四边形内部没有其他给定点

例10、n?n?4?名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同

二、无穷递降法

例11、若干个球装在2n?1个袋子中，满足：如果任意取走一个袋子，总可以把余下的2n个袋子分成两组，每组各有n个袋，且两组袋中的球的个数相等，证明：这2n?1个袋子中的球的个数都相等

a2?b2例12、已知正整数a,b，满足ab?1整除a?b，证明是某一个正整数的平方。

ab?122

三、排序原理 例13、（1）平面上有2n?3个点，任意三点不共线，任意四点不共圆，问：能不能通过其中某三个点作一个圆，使得其余2n个点一般在圆内，一半在此圆外？

（2）已知空间有1987个点，证明：可以过其中某个点做一平面使得该平面两侧均有993个点 （3）平面上有1988个点，任意四点不共线，其中有1788个点涂成红色，有200个点涂蓝色，证明：存在一条直线，它将平面分成两个部分，每个部分各有894个红点与100个蓝点

极端原理与无穷递降法

1、已知S1,S2,S3为非空整数集合，且对于1,2,3的任意一个排列i,j,k，若x?Si,y?Sj则x?y?Sk（1）证明：S1,S2,S3中至少有两个集合相等；（2）这三个集合是否可能有两个集合无公共元素 2、设n元集合X的某些三元子集组成集合S，且S中每两个元素（子集）之间至多有1个公共元素，证明：存在集合A?X，使得card?A???2n?，且S中的任何元素都不是A的子集

??3、厦门一中2007级数学兴趣小组的20名同学举行14场乒乓球单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同

4、已知x1,x2,?,xn是实数，a1,a2,?,an和b1,b2,?,bn均为正整数，令

a?a1x1?a2x2???anxnbx?bx???bnxn ,b?1122a1?a2???anb1?b2???bn求证：在x1,x2,?,xn中必存在两个数xi,xj，使a?b?a?xi?xi?xj成立

44445、求方程x?4y?2z?4u的整数解

??6、在平面上有n个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这n个点中的两个点

7、某个星系的每一个星球上都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间是距离都不相等，证明：当星球个数我奇数时一定有一个星球任何人都看不到

8、若干个儿童围成一圈，他们手中都拿有一些糖块，规定进行如下传递，每次的传递方法是：如果某人手中的糖块数是奇数，则他可再领取一块，然后每人都把手中的糖块的一半传给右边的小朋友，求证：一定可以经过若干次传递，使得所有儿童手中的糖块数都相同 9、在n名选手参加的循环赛中，每两人比赛一场（无平局），试证下列两种情况恰有一种发生： （1）可将所有选手分成两个非空集合A和B，使得A中的任何一名选手都能战胜B中的所有选手 （2）可将n名选手从1到n编号，使得第i名选手战胜第i?1名选手，将n?1理解为1

10、平面上已给出997个点，将连接每两点的线段的中点染成红色，证明至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点集？

11、在n?n的方格中写上非负整数，如果在某一行和某一列的交汇处的数是0，那么该行和该列上所填各数之和不小于n，证明：表中所有数的和不小于

12n 2212、设k?2,k?N，试证不能在k?k的方格中填入数1,2,?,k，使每行和每列数之和都是2的幂

13、设S是一个非空点集，它的所有点都是整点，此外还给定一组有无限多个有整数坐标的非零向量组，已知当将向量组中的所有向量的起点都放在S中的任一点时，它们的终点属于S的比不属于S的多，证明：S必为无穷点集

14、设n?2,n?N，全部正因数1?d1?d2???dk?n,记D?d1d2?d2d3???dk?1dk （1）证明：D?n；（2）确定所有的n使得D能整除n

22

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库极端原理与无穷递降在线全文阅读。