2003年高考试题 - 数学文（全国卷）及答案(2)

=3

n?1?3n?23n?1???3?1?.

23n?1 所以an?

220．解（I）f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2x?cos

??cos2xsin)?1?2sin(2x?) 444??所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1?2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 x y ?3? 81 ??8 ? 81 3? 85? 81 1?2 1?2 故函数y?f(x)在区 间[?

21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为

??,]上的图象是 22?22?20?t,?x?300??102 ??y??300?72?20?2t.?102? 此时台风侵袭的区域是(x?x)2?(y?y)2?[r(t)]2，其中r(t)?10t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

(0?x)2?(0?y)2?(10t?60)2,

即(300?2227222?20?t)?(?300??20?t)?(10t?60)2, 1021022即t?36t?288?0， 解得12?t?24.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离

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的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

设

BECFDC???k(0?k?1)， BCCDDA由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线OF的方程为：2ax?(2k?1)y?0， ① 直线GE的方程为：?a(2k?1)x?y?2a?0. ②

从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2?y2?2ay?0，

22x(y?a)整理得??1. 21a21时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 212当a?时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

2当a?2当a2?111时，点P到椭圆两个焦点(??a2,a),(?a2,a)的距离之和为定值2. 222111时，点P到椭圆两个焦点(0,a?a2?），（0，a?a2?)的距离之和为定值2a. 222当a2?

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