最新压轴题

19．（本小题满分16分）

x2y23

已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝2，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，25

左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为5． （1）求椭圆C的方程；

1

（2）过原点且斜率为2的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值. 3解：（1）因为椭圆C的离心率e＝2，

故设a＝2m，c＝3m，则b＝m． 直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0， 即mx－2my－2m2＝0． 所以

2m25

＝5，解得m＝1． m2＋4m22

y A1 T P F1 B1 O F2 M B2 G N x A2 x22

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为4＋y＝1． ………………… 5分

x22

4＋y＝1，22

（2）由得E(2，)，F(－2，－122)．……………………………….7分

y＝2x，

???

22→→

又F2(3，0)，所以F2E＝(2－3，2)，F2F＝(－2－3，－2)， 221→→

所以F2E·F2F＝(2－3)×(－2－3)＋2×(－2)＝2＞0．

所以∠EF2F是锐角． ………………… 10分 （3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0), y0－1x0 直线PA1：y－1＝xx，令y＝0,得xN＝－；

y0－10

y0＋1x0 直线PA2：y＋1＝xx，令y＝0,得xM＝；……………………………………12分

y0＋10

1x0x0解法一:设圆G的圆心为(2(－)，h),

y0＋1y0－1

1

1x0x0x021x0x02

则r2＝[2(－)－]＋h2＝4(＋)＋h2．

y0＋1y0－1y0＋1y0＋1y0－11x0x02

OG2＝4(－)＋h2．

y0＋1y0－1

1x0x021x0x02x0222

OT＝OG－r＝4(－)＋h－4(＋)－h＝．………….14分

y0＋1y0－1y0＋1y0－11－y022

2

2

x02

而4＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 16分 x0x0x02

解法二:OM·ON＝|(－)·|＝, y0－1y0＋11－y02x02

而4＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4． 由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. 20．（本大题满分16分） 2

已知函数f(x)=a|x|+ax(a>0,a≠1)

（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围； （2）设函数g(x)= f(-x)，x∈[-2，+∞），g?x?满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．

x解：(1)令a?t，x?0，因为a?1，所以t?1，所以关于x的方程f?x??m有两个不同

的正数解等价于关于t的方程t?2?m有相异的且均大于1的两根，即 关于t的方程tt2?mt?2?0有相异的且均大于1的两根，…………………………………………2分

???m2?8?0,??m所以??1,，…………………………………………………………………4分

2?2??1?m?2?0解得22?m?3，故实数m的取值范围为区间(22,3).……………………………6分 (2)g(x)?a|x|?2ax,x?[?2,??) ①当a?1时，

a)x?0时，ax?1，g(x)?3ax，所以 g(x)?[3,??)，

2

b)?2?x?0时，

1?ax?1g(x)?a?x?2ax，所以 2a2?ax??12g'(x)??a?xlna?2axlna?axlna……8分

ⅰ)当

11?即1?a?42时，对?x?(?2,0)，g'(x)?0，所以 g(x)在[?2,0)上递增， 2a2所以 g(x)?[a2?222g(x)，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合…10分 a?,3)22aa ⅱ)当

11114?g'(x)?0a?2即时，由得，且当x??log2?2?x??loga2时，aa222211g'(x)?0，当?loga2?x?0时，g'(x)?0，所以 g(x)在[?2,?loga2]上递减，在

221?1?[?loga2,0]上递增，所以g(x)min?g??loga2??22，综合a) b) g(x)有最小值为2?2?22与a无关，符合要求．………12分

②当0?a?1时，

a) x?0时，0?ax?1，g(x)?3ax，所以 g(x)?(0,3] b) ?2?x?0时，1?ax?1?xxg(x)?a?2a，， 2a2?ax??12所以 g'(x)??a?xlna?2axlna?所以 g(x)?(3,a2?axlna ?0，g(x)在[?2,0)上递减，

222g(x)，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合……15分 a?]22aa综上所述，实数a的取值范围是a?42．………………………………………………1

?y2?1(|x|?1)，C2:x2?8y?1(|x|?1)，动直线l与C1相切，与C2相交于A,B两点，曲线C2在A,B处的切线相交于点M.

21.如图，已知曲线C1:x（1）当MA?（2）试问在

2MB时，求直线l的方程；

y轴上是否存在两个定点T1,T2，

当直线MT1,MT2斜率存在时，两直线的斜率 之积恒为定值？若存在，求出满足的T1,T2点 坐标；若不存在，请说明理由.

M

3

第21题图

21.（1）设半圆C1上的切点P(x0,y0)，直线lAB:x0x?y0y?1，

?x0x?y0y?1?y?8?y0x2?8x0x?y0?8?0得：x1x2?0A(x1,y1),B(x2,y2)?2。

yx?8y?10??MA?MB时，y?AyB?得：x0???y?81x1x2?0??1，得y0?8，又x02?y02?1，求1616y015161，所求的直线方程为：?161x?8y?15?0。 1511211121（2）曲线C2在A,B处的切线lA:y?x1x?x1?,lB:y?x2x?x2?

488488?4x011x1?x21,??)，设M(x,y)则 ,(x1x2?1))，即M(两直线的交点M(28y04y0?4x0??x?y?0??y??1?1?4y0?x?x??04y?1?22求得：?，代入x0?y0?1化得：k*s@5%u

?y??40?4y?1?x2?(4y?1)2?16?16y2?8y?15，设T1(0,t1),T2(0,t2)，则 kMP?kMQ(y?t1)(y?t2)y2?(t1?t2)y?t1t21y2?(t1?t2)y?t1t2????22115x16y?8y?1516y2?y?216为

1?t?t????122?定值，必须

?tt??1512?16?19．（本小题满分16分）

35??t?t?????14?1453或T(0,?),T(0,) ??，解得：，不妨取125344?t???t??22??4??4x2y2222如图，椭圆C1：2?2?1（a?b?0）和圆C2：x?y?b，已知圆C2将椭

ab圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为

2，椭圆C1的下顶点为E，过坐4标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M.

4

①求证：直线MP经过一定点； ②试问：是否存在以(m,0)为圆心，32为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都5与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由。 19、（1）依题意，2b?y 1?2a，则a?3b， 3a2b22∴c?a?b?22b，又，∴b?1，则a?3， ?c??cc422x2?y2?1． ·∴椭圆方程为················································································· 4分 9（2）①由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：

y?kx?1，

18k?y?kx?1,x?,?2??x?0,?9k?1?由?x2得或 ??22??y?1,?y?9k?1,?y??1,?9?9k2?1?18k9k2?1,2)，·∴P(2······················································································· 6分

9k?19k?11?18k9?k2,2)， 用?去代k，得M(2kk?9k?9方法1：kPM9k2?19?k2?22k2?19k?1k?9， ??18k18k10k?9k2?1k2?99?k2k2?118kk2?14?(x?2)，即y?x?， ∴PM：y?2k?910kk?910k5∴直线PM经过定点T(0,)．

方法2：作直线l关于y轴的对称直线l'，此时得到的点P'、M'关于y轴对称，则PM与P'M'相交于y轴，可知定点在y轴上，

当k?1时，P(,)，M(?,)，此时直线PM经过y轴上的点T(0,)，

459455945545 5

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