离散数学期末复习辅导（二）
离散数学图论部分期末复习辅导
一、单项选择题
1．设图G＝
v?Vv?V解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C成立。 答 C
2．设无向图G的邻接矩阵为
?0?1??1??0??01100?0011??， 0000??1001?1010??则G的边数为( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10?2=5条边。 答 B
3．已知无向图G的邻接矩阵为
?0?1??0??1??11011?0001??0011?，
?0101?1110??则G有（ ）．
A．5点，8边 B．6点，7边 C．6点，8边 D．5点，7边
解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G有5个结点，矩阵元素有14个
1
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1，14÷2=7，图G有7条边。 答 D
4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, e)}是割边 B．{(a, e)}是边割集 C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集 D．{(d, e)}是边割集
定义3.2.9 设无向图G=
注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：
若图G=
5．图G如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A．a是割点 B．{b, c}是点割集 C．{b, d}是点割集 D．{c}是点割集
a ? b ? ? c 图二
? d
a ? ? b
? c 图一 e ? ? d
定义3.2.7 设无向图G=
2
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解 在图二中，删去结点a或删去结点c或删去结点b和d图还是连通的，所以答案A、C、D是错误的．在图二中删除结点b和c，得到的子图是不连通图，而只删除结点b或结点c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c}是点割集．所以答案B是正确的． 答 B
6．图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(a, d) ,(b, d)}是边割集 D．{(b, d)}是边割集
解 割边首先是一条边，{(a, d)}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B或D中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A、B、D是错误的．在图三中，删去(a, d)边和(b, d)边，图就不连通了，而只是删除(a, d)边或(b, d)边，图还是连通的，所以答案C正确．
7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．
? d
a ? ? b 图三
? c
图四
A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的 C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的
复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；
若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；
若图G的底图，即在图G中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G是弱连
3
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通的．
显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．
定理3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．
单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。
答 A（有一条经过每个结点的回路） 问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？ 答：图(d)是仅为弱连通的 请大家要复习“弱连通”的概念．
8．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当（ ）时，Kn中存在欧拉回路． A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数
解 完全图Kn每个结点都是n?1度的，由定理4.1.1的推论知Kn中存在欧拉回路的条件是n?1是偶数，从而n为奇数。 答 C
提示：前面提到n阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1，现在要问：无向完全图Kn的边数是多少？ 答：n(n–1)/2
9．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )． A．平面图 B．对偶图 C．欧拉图 D．连通图
定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；
具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．
4
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由定义可知，汉密尔顿图是连通图． 答 D
10．若G是一个欧拉图，则G一定是( )． A．平面图 B．汉密尔顿图 C．连通图 D．对偶图
定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路．（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边．） 若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路． 具有欧拉回路的图就称为欧拉图． 由定义可知，欧拉图是连通图． 答 C
11．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 答 A（定理4.3.2：欧拉公式v?e?r ? 2）
问：如果连通平面图G有4个结点，7条边，那么图G有几个面？ 12．无向树T有8个结点，则T的边数为( )． A．6 B．7 C．8 D．9
13．无向简单图G是棵树，当且仅当( )． A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路．
答 A（定理5.1.1（树的等价定义））
14．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．
A．8 B．5 C．4 D．3
5
答 B
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