数字信号处理整理

1. 最小相位滤波器：如果一个离散系统H（z）的极点和零点都在单位圆内，则称该系统为最小相位滤波器

2. 吉布斯（Gibbs）现象：对一个信号突然截断时，幅频响应的通带内出现的纹波，会随着取样数m的增大而不

消散，而最大的上冲越来越接近于间断点Wc，这种现象成为吉布斯现象。 3. 不定原理：对一个信号序列进行傅里叶变换时，信号的时宽与带宽的乘积大于某个常数，即同时精确确定一个信

号的时宽和带宽是不可能的。 4. 因果系统：一个系统和输出只与现在和过去的输出有关，则成这个系统为因果系统。

5. 栅栏效应：对于一个非周期信号，若用DFT获取其频谱，则由于其抽样的有限性，使得Xn（k）只能得到N个

频率成分，其余频率成分都不能通过DFT而被看到，好像是在栅栏一边通过缝隙观看另一边景象，有一部分被挡住，这种效应被称为展览效应。 6. 基2FFT的时间抽取算法（DIT）：基2FFT的时间抽取算法是将时域x（n）的序号n按奇偶分开得到的FFT 7. IIR系统：包含了由输出到输入的反馈，因而其抽样响应为无限长的系统 8. 逆滤波器：一个稳定的因果系统的转移函数的倒数定义为逆滤波器，即Hiv?z??9. sinc函数：sinc函数是一种形如

1 H(z)sinx的函数 x10. 双线性Z变换：由s平面到z平面的一种一一对应的映射关系，即s?

z?12z?1或s?

z?1Tsz?111. 等纹波逼近：滤波器设计中的最佳一致逼近又称为等纹波逼近

12. 最小相位滤波器：如果一个离散系统的H(z)的极点与零点都在单位圆内，则称该系统为最小相位滤波器。 13. 能量信号：如果信号的能量0

二 简答题

1. 在推导巴特沃思模拟低通滤波器以及切比雪夫模拟低通滤波器过程中，都得到2N个极点，但最后都将左半平

面的N个极点赋予G（p），说是为了保证所设计的滤波器是稳定的。为什么？请说明理由。 因为G（p）是在s平面上进行设计的，根据s平面与z平面的对应关系，s平面的左半平面对应z平面的单位圆内区域，s平面的右半平面对应z平面的单位圆外区域，再因为系统要保持稳定，其极点必须位于z平面的单位圆内，故将s平面上左半平面的N个极点赋予G（P），使之保持系统稳定。

2. FIR数字滤波器设计中的三种方法分别对应数值逼近理论中的什么方法？请给出他们的对应关系。 窗函数法对应最小平方逼近法，频率抽样法对应插值法，切比雪夫最佳逼近法对应一致逼近法。

3. 选用一个窗函数时，仅就3dB宽B而言，B越大越好还是越小越好，为什么？ B越小越好，窗函数的频率分辨率越好。 4. FIR系统具有线性相位的条件是什么 单位冲击响应h（n）=?h（N-1-n）

5. 离散时间系统的Lattice结构的最大优点是什么 便于模块化设计，并行运算，硬件实现时节省存储资源

1.一个N阶的全通滤波器的转移函数为

H*ap(z)???zNi?1?11??iz?jw??i*?1 |

?|<1试证明|iHap(e)|=1

*jw证明：Hap(e)?H(e).H(e)=?e1?jw2jwjwNapapi?1?Ne???e?i?11??ie??ii*?jw2?jw??*i?

?jw??jwe=?Ni?1?i=1?1 即证明|(=??He1??e1??e1??e??e??i?jw??ii*?jw.e?jw??i*iN1??iei?jw??ie*i*?jw?Njwi?1?jw?jw2i?1ap)|=1

2对离散傅里叶变换（DFT），试证明Parseval定理

?x(n)n?0N?121N?1??Nk?0x(k)2

证明：由DFT和IDFT定义知X(k)?2?N?x(n)Wn?0*n?0N?1knN1N?1?kn 0?k?N-1 x(n)??X(k)WN 0?n?N-1 其中

Nk?0N?1*WN?e?j 故有

?1?kn??x(n).(n)?x(n).x(n)X(k)??x???WN??Nk?0?N?1n?02N?1n?0N?11N?1?N?1*kn???x(n).??X(k)WN?= Nn?0?k?0?1N?1*1?N?1kn?=(k).X(n)?WN???Nk?0X?k?0?N

?x(k)k?0N?12

3对离散时间信号傅里叶变换（DTET）试证明Parseval定理

jwn????x(n)12?*?21?2??????X(ejw)dw

)ejwn2证明：由DFT和IDFT定义知X(e)??x(n)e????jwn x(n)????Xe(jwd w 故有

?x(n)???2??x(n).x(n)??x(n)?????*??1??jwjwn???X(e)edw???2??=

12?

??X(e)?x(n)e?????*jw??jwn1dw?2???X(e??*jw)X(ejw1)dw?2?????X(ejw)dw

24.证明x(n)?h(n)??k????x(k)h(n?k)

x(n)??x(k)?(n?k)把?(n?k)看做输入，则有?(n)?h(n)，?(n?k)?h(n?k)，

??x(k)??(n?k)?x(k)?h(n?k)（LSI系统相加）y(n)?x(n)?h(n)?

k????x(k)?(n?k)?h(n)??x(k)h(n?k)

k?????

四 计算题

1.设有一个FIR系统的差分方程为y（n）=x（n）-x（n-N） (1)写出该系统的幅频响应及相频响应 （2）画出该系统的信号流图

解：（1）对式y（n）=x（n）-x(n-N)两边作傅里叶变换，得Y(统转移函数为H(ejw)?X(e)?eN2jw?jwNX(e)

jwejw)?Y(e)X(e)jwjw?1?e?jwN?e?jwN2(ejwN2?e?jwwNwNj(??))?2sin.e22

2幅频响应H(ejw)?2sin?NwN 相频响应?(w)??w

222

2． 令h（n）={h（0），h（1）}={1,1} x（n）={x(0)…x(3)}={1,2,1,3}试求x（n）和h(n)的线性卷积，并同时将运算结果作图示之

解：跟决定义，x（n）和h（n）的线性卷积为y（n）=x（n）*h（n）=

k????x(k)h(n?k)

?于是y（0）=x（0）h（0）=1×1=1 y（1）=x（0）h（1）+x(1)h(0)=1×1+2×1=3 y(2)=x(0)h(1)+x(2)h(0)=2×1+1×1=3 y(3)=x(2)h(1)+x(3)h(0)=1×1+3×1=4 y(4)=x(3)h(1)+x(4)h(0)=3×1+0×1=3 y(n)=0 n为其他值

3. 已知理想低通数字滤波器的频率响应为H(ejw?1)???00?w?w

?w??wc求H(ejw)所对应的单位抽样响应h（n）

1解：由傅里叶逆变换得hLP?2???H(e)e?LP?jwjwnsin(wcn)1wc dw?dw?2???wc?n

4. 求序列x(0),x(1)……，x(15)对应的码位倒置序列 解：首先将x（n）的序列写成二进制，即

x(0000),x(0001),x(0010),x(0011),x(0100),x(0101),x(0110),x(0111)

x(1000),x(1001),x(1010),x(1011),x(1100),x(1101),x(1110),x(1111)然后将二进制码翻转得

x(0000),x(1000),x(0100),x(1100),x(0010),x(1010),x(0110),x(1110)

x(0001),x(1001),x(0101),x(1101),x(0011),x(1011),x(0111),x(1111)他们对应的十进制码为

x(0),x(8),x(4),x(12),x(2),x(10),x(6),x(14)即为所求

x(1),x(9),x(5),x(13),x(3),x(11),x(7),x(15)

5. 若x（n）为N点有限长序列，已知其DFT为X（k）,求该序列的z变换和DTFT 解：X(z)??x(n)zn?0?NN?1k?oN?1?nN?1N?12?2?1?1N?1jnk??nNjk?1即????X(k)e??X(k)?Z?(eNZ)Nk?0k?0?Nk?0n?0?N?1n1?ZX(z)?N

?1?X(k)WeN?k?jw

6. 用频率抽样法设计一个带通数字滤波器，其带通频率是400~800Hz，抽样频率解：令

fs=3500Hz，使用阶次N=35。 的取非零值的序号，则有

f1=400Hz，

Hd(N?K)?Hd(k)*f2=800Hz，

k k12分别对应

f1与

f*2Nf?skf11?kf22算得

k1?4,k2?8故k=4,5,6,7,8取非零值，再由Hd(N?K)?Hd(k)，得k=27,28,29,30,31也取

k?4,5,6,7,8,27,28,29,30,31k?0~3,9~24,32~34

?j34k?35??e非零值，其余取零值即：Hd(k)????0

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