北京各区中考数学 二次函数及压轴题人教版(2)

25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点P，0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45，再将其长度0的坐标为(1伸长为OP得到线段OP又将线段OP长度伸长为OP得到线段OP0的2倍，1；1按逆时针方向旋转45，1的2倍，2；如此下去，得到线段OP3，OP4，?，OPn（n为正整数） (1)求点P6的坐标；(2)求△POP56的面积；

y ??P3 P4 1，2，3，?）的横坐标 (3)我们规定：把点Pn(xn，yn)（n?0，yn?称之为点 xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标?xn，．根据图中点PPn的“绝对坐标”n的分布规律，请你猜想点Pn 的“绝对坐标”，并写出来．

大兴

P2 P1 O P，0) x 0(1P5 24. 若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个根，则方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1?x2??b,a2x1?x2?c. 我们把它们称为根与系数关系定理. a如果设二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

b24cb2?4acb2?4acAB?x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?(?)???.2 aaaa2请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)，抛物线的顶点为C，显然?ABC为等腰三角形.

（1）当?ABC为等腰直角三角形时，求b?4ac的值; （2）当?ABC为等边三角形时，b?4ac? .

2（3）设抛物线y?x?kx?1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且?ACB?90?,试问如何平移此抛物线，

222才能使?ACB?60?？

25．已知抛物线y?x2?2x?a（a?0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y?交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.

1x?a分别与x轴，y轴相2(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M? ， ?，N? ， ?；

AC(2)如图11，将△NAN′与x轴交于点D，沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，连结CD，

求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y?x2?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

23．已知抛物线y?ax?4ax?4a?2， 其中a是常数． （1）求抛物线的顶点坐标；

yA22 （2）若a?，且抛物线与x轴交于整数点（坐

5抛物线的解析式．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,1)O标为整数的点），求此

x关于x轴的对称点为折后，点B落在点D

C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻

处．

（1）求点C、D的坐标；

（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为 线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点

Q .

① 当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；

② 当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标.

房山

23． 已知：抛物线C1： y?ax2?4ax?4a?5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），

点B的横坐标是1．

（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右

平移，平移后的抛物线C2的顶点为M，当点P、M关于点B成

中心对称时，求平移后的抛物线

y654321-6-5-4-3-2-1C2的解析式；

（3）直线y??O-1-2-3-4-5-612345678x3x?m与抛物线5C1、C2的对称轴分别交于点E、F，

设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s, 试用含m的代数式表示s． 25、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y??3x?63交x轴、y轴于A、B两点，点M(m,n)是线段AB上一动点, 点C是线段OA的三等分点．

（1）求点C的坐标；

（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A’C’M.

yB1①当BM=AM时，连结A’C、AC’,若过原点O的直线l2将四边形A’CAC’

2分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

②过点A’作A’H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A’、H、C、M构成的四边形为梯形？

怀柔

23．已知二次函数y＝x2－x＋c．

(1)若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；

MOAx 3

(2)若D(2，y1)、E(x2，2)两点关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点8

个数，并说明理由．

24．已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

25．如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y?A

M

D

60°

B

P

Q C

124x?x?10与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B作x 189轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位

的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜

9时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不2是,请说明理由;

(4)当t 时,△PQF为等腰三角形?

门头沟

23.关于x的一元二次方程(m2?1)x2?2(m?2)x?1?0. （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点A（?1，?1）是抛物线y?(m2?1)x2?2(m?2)x?1上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

y

4 25. 如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）3 三点． 2 1 （1）求抛物线的解析式．

x O 1 2 3 4 （2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从-4 -3 -2 -1 -1 点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另-2 -3 一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒-4 的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的条件下， M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ＋MC的值最小时，请求出点M的坐标．

y

B

Q

AxPDCO

密云

24．如图，将腰长为5的等腰Rt△ABC（?C是直角）放

在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A在y轴上， 顶点B在抛物线y?ax2?ax?2上，顶点C在x轴 上，坐标为（?1，0）．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；

（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB?C?的位置．请判断点B?、C?是否在（2）中

的抛物线上，并说明理由．

25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿

线段BC以每秒2个单位长度的速

度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

顺义

23．已知：抛物线y?(k?1)x?2kx?k?2与x轴有两个不同的交点．

（1）求k的取值范围；

（2）当k为整数，且关于x的方程3x?kx?1的解是负数时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方

形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个

2时间为t（秒）．

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