定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
f(x0+??x)-f(x0)Δ??==??????为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y' ??=??.
??x0Δ??→0??x→0Δ??
lim
几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点 处的 .相应地,切线方程为 .
)-??(??)
2.函数f(x)的导函数:lim=??(??+Δ??.
Δ??Δ??→0
二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f'(x)= f'(x)= f'(x)= f'(x)= (a>0) f'(x)= 1 ??ln??f(x)=logax f'(x)=f(x)=lnx f'(x)= 1??
三 导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'= ;
2.[f(x)2g(x)]'= ;
??(??)??'(??)??(??)-??(??)??'(??)3. ?? '=(g(x)≠0). 2(??)
[??(??)]
四 复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
? 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“3”.
(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同. (2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)的导数为3(x-a).
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. (4)若f(x)=sinα+cosx,则f'(x)=cosα-sinx.
2 若f(x)=x2e,则f'(1)等于( ).
xA.0 B.e C.2e D.e
3 曲线y=sinx+e在点(0,1)处的切线方程是( ).
x2
A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0
4 若y=ln(2x+5),则y'= .
π2
π4
5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f' sinx+cosx,则f' = .
6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.
知识清单
一、1.(x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 二、n2x cosx -sinx alna e
n-1
xx三、1.f'(x)±g'(x) 2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 四、y'u2u'x y对u u对x 基础训练
1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数. (2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x-a).
2
2
(3)正确.
(4)错误,f'(x)=-sinx.
【答案】(1)3 (2)√ (3)√ (4)3 2.【解析】f'(x)=e+xe,则f'(1)=2e.
xx【答案】C
3.【解析】y'=cosx+e,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.
x【答案】C 4.【解析】y'=2
. 2??+5
【答案】
2 2??+55.【解析】因为f'(x)=f' cosx-sinx,所以f' =-1,所以f' =f' -=- 2.
224222【答案】- 2
6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=1
所以 ??+??1, ??+??πππ 2π 2解得a=1ln2.
2
ln(??+??)=2??-1,
=2,
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