2018年高考数学二轮专题复习（浙江版） 数学思想专练（一） Word

数学思想专练（一）

一、选择题

1．(2018届高三2浙江五校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为( )

A．7 C.15

2

B．8 17 D.

2

Sn＋64ana2＝a1＋d＝4，??

解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，则?1039

Sd＝110，10＝10a1＋?2?

所以an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝2n＋≥2

??a1＝2，

解得?

?d＝2，?

n?n－1?

2Sn＋64n2＋n＋64n321

32＝n＋n，所以＝＝＋＋

an2n2n2

2

n32117n32

2＋＝，当且仅当＝，即n＝8时取等号，故选D. 2n222n2．若关于x的方程x＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1<0

2

?3?A.?－，0? ?4??3?C.?0，? ?4?

2

2

?3? B.?－，0? ?4??3? D.?0，? ?4?

解析：选B 构造函数f(x)＝x＋2kx－1，

∵关于x的方程x＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1<0

f?－1?≥0，??

∴?f?0?<0，??f?2?>0，

3

∴－

4

－2k≥0，??

即?－1<0，??4k＋3>0，

??g?x?＋x＋4，x

3．设函数g(x)＝x－2(x∈R)，又函数f(x)＝?

??g?x?－x，x≥g?x?.

2

则f(x)的值域是

( )

?9?A.?－，0?∪(1，＋∞)

?4?

B．[0，＋∞) 9

C．[－，＋∞)

4

?9?D.?－，0?∪(2，＋∞) ?4?

解析：选D 依题意知

??x－2＋x＋4，x

??x－2－x，x≥x－2，

22

2

??x＋x＋2，x<－1或x>2，f(x)＝?2

??x－x－2，－1≤x≤2.

＋

画出f(x)的图象，如图所示，从图中可以看出f(x)的值域为(2，

?9?∞)∪?－，0?. ?4?

4．已知f(x)＝e－e＋1，若f(a)＋f(a－2)<2，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) C．(1，＋∞)

x－xx－x B．(－∞，2) D．(2，＋∞)

解析：选A 设g(x)＝e－e，显然有f(x)＝g(x)＋1，且g(x)为奇函数，在R上是增函数， 因为f(a)＋f(a－2)<2，所以g(a)＋g(a－2)<0，所以g(a)<－g(a－2)＝g(2－a)，所以a<2－a，所以a<1，选A.

5．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为( )

A．－2 C．－8

B．－4 D．不能确定

＝

2

解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g(x)

ax2＋bx＋c(a<0)的两个零点为x1，x2，则一定有|x1－x2|＝fmax(x)，故

b2－4ac＝ a2

4ac－b2

，a＝－4a，a＝－4，选B. 4a26．定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，

f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取

值范围是( )

A.?0，C.?0，

????

3?? 3?5?? 5?

B.?0， D.?0，

????

2?? 2?6?? 6?

解析：选A ∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，令x＝－1，则f(1)＝f(－1)－f(1)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴f(1)＝0. ∴f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，

又∵当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x＋12x－18，

令g(x)＝loga(x＋1) ，则f(x)与g(x)在[0，＋∞)的部分图象如图所示．

2

y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g(x)在(0，＋

∞)上单调递减，

??0－2，

解得0＜a＜

3

，故选A. 3

二、填空题

x＋y≥1，??

7．已知变量x，y满足约束条件?y≤3，

??x－y≤1，

则k＝________.

若z＝kx＋y的最大值为5，且k为负整数，

解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A(－2,3)，B(4,3)，C(1,0)，根据线性规划知识可得，函数的最优解必在交点处取得，则－2k＋3＝5或4k＋3＝5或k＋0又k为负整数，所以k＝－1.

答案：－1

8．(20172泰州模拟)在直角△ABC中，AB＝2，AC＝23，斜边BC上有异于端点的两点E，F，―→―→

且EF＝1，则AE2AF的取值范围是________．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E(x,23－3x)，

目标＝5，

F?x＋，??3133―→―→??1?－3x?，其中0

2??22?

(23－3x)?

?33?22

－3x?＝4x－10x＋9.设f(x)＝4x－10x＋?2?

3?5―→―→??11??11?9?0

2?4??4??4?

答案：?

?11，9?

??4?

上的的最

9.如图，设直线m，n相交于点O，且夹角为30°，点P是直线m―→―→―→―→

动点，点A，B是直线n上的定点．若|OA|＝|AB|＝2，则PA2PB小值是________．

解析：以OB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为y轴，

建立如图的坐标系，则A(2,0)，B(4,0)，

设P?a，

??3?―→?3?―→?3?―→―→

a?，则PA＝?2－a，－a?，PB＝?4－a，－a?，所以PA2PB＝(2－a)(43?3?3???

12424?9?2555―→―→

－a)＋a＝a－6a＋8＝?a－?＋≥，所以PA2PB的最小值为.

4?44333?4

5

答案： 4三、解答题

10．已知函数f(x)＝|4x－x|－a，当函数有4个零点时，求a的取值范围． 解：∵函数f(x)＝|4x－x|－a有4个零点， ∴方程|4x－x|＝a有4个不同的解． 令g(x)＝|4x－x|＝

??4－?x－2?， 0≤x≤4，?2

??x－2?－4，x<0或x>4.?

2

22

2

2

作出g(x)的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h(x)＝a与g(x)有4个交点时，0

11．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)＝2(2＋4d)，

化简得d－4d＝0， 解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1)24＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n， 显然2n<60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立． 当an＝4n－2时，Sn＝2

2

2

n[2＋?4n－2?]

2

2

＝2n.

2

令2n>60n＋800，即n－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)，

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. 12.已知椭圆C的离心率为＝1－3. 2

3

，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线l：y＝kx＋m被圆O：x＋y＝4所截得的弦长为23，若直线l与椭圆C交于M，

2

2

N两点，求△OMN面积的最大值．

x2y2

解：(1)由题意，知椭圆C的焦点在x轴上，设其方程为2＋2＝1(a>b>0)，

abc2a2－b23

由已知得e＝2＝2＝，

aa4

2

所以a＝4b，即a＝2b，① 可得c＝3b.②

22

S△ABF＝|AF||OB|＝(a－c)b＝1－

联立①②③，解得b＝1，a＝2， 所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

12123.③ 2

x2

2

(2)由题意，知圆心O到直线l的距离d＝2－?3?＝1， 即

|m|1＋k2

2

22

＝1，故有m＝1＋k，④

22

x??＋y2＝1，由?4??y＝kx＋m

2

消去y并整理，得

?1＋k2?x2＋2kmx＋m2－1＝0. ?4???

因为Δ＝4k－m＋1＝3k>0，所以k≠0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 8km则x1＋x2＝－2，

4k＋14m－4x1x2＝2，

4k＋1

2

2

2

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