2011届六校第一次联考数学（理科）(2)

当b＝2时， (a?2)2?5，即a可取1，2，3，4 当b＝3时， (a?2)2?0，即a可取2

由上可知，共有9种情况下可使事件“z?2?3”成立 …………………11分 又a，b的取值情况共有36种 故事件“z?2?3”的概率为18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

9 …………………12分 36?AC2?BC2?AB2

∴ AC⊥BC， …………………2分 又 AC⊥C1C，且BC?C1C?C

∴ AC⊥平面BCC1 ，又BC1?平面BCC1 ……………………………………4分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取BC中点E，过D作DF?B1C于F，连接EF …………6分

?D是AB中点，

DE//AC ，又AC?平面BB1C1C ∴

DE?平面BB1C1C， ∴

又?EF?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C DE?EF ∴∴B1C?DE 又?DF?B1C且DE?DF?D

∴B1C?平面DEF，EF?平面DEF ………8分 ∴B1C?EF 又?DF?B1C

A1FCDAEBC1B1?EFD是二面角D?B1C?B的平面角 ……………………………………10分 ∴

?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在?DEF中，DE?EF，DE?3，EF?2 23DE32tan?EFD??2?∴ …………………………………………11分

EF42∴二面角D?B1C?B的正切值为32 …………………………………………12分 4解法二：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

2，0)，B1(0，∴0) C(0，0，0)，D(，A(3，0，0)，B(0，4，4，4)， ????3CD?(，2，0)， ∴

2????CB1?(0，4，4)

A1z32C1B1CDAxBy??平面CBBC，，0)， …………………8分 11的法向量n1?(10设平面DB1C的法向量n2?(x0，y0，z0)，

????????则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D?CB1?B的大小 …………9分 ????????3?n?CD?0?2?x0?2y0?0则由??? 令x0?4，则y0??3，z0?3 ???????2??n2?CB1?0??4y0?4z0?0???∴ n2?(4,?3,3) ………………10分

???????????????n?n2432??cos?n1，n2????1??，则tan?n1， ……………11分 n2??4|n1|?|n2|34∵二面角D?B1C?B是锐二面角 ∴二面角D?B1C?B的正切值为232 ………………………… 12分 419．解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x?14x?45?0的两根，且数列{an}的公差d>0，

∴a3=5，a5=9，公差d?a5?a3?2.

5?3∴an?a5?(n?5)d?2n?1. ………………3分 又当n=1时，有b1?S1?1?b11 ?b1? 23当n?2时,有bn?Sn?Sn?1?∴数列{bn}是首项b1?

b11(bn?1?bn),?n?(n?2). 2bn?1311，公比q?等比数列， 33bn?b1q∴

n?1?1. …………6分 n32n?12n?1,c?, …………8分 n?13n3n?12n?12n?14(1?n)cn?1?cn?n?1?n??0. ∴n?1333（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn?anbn?∴cn?1?cn. …………………………10分 （Ⅲ）cn?anbn?2n?1，设数列?cn?的前n项和为Tn， 3n1352n?1?Tn?1?2?3?........?n （1）

33331135n2?3n?21?Tn? 2?3?4?...?n?n?1 (2 ) ………………12分 333333212222n?111112n?1(1)?(2)得：Tn??2?3?.....?n?n?1??2(2?3?.....?n)?n?1

33333333333n?1化简得：Tn?1?n ………………………14分

320．解: (Ⅰ)?P在椭圆E上 ?2a?PF1?PF2?4,a?2, ……………….1分

53222?PF1?F1F2,?F1F2?PF2?PF1?()2?()2?4, ……………….2分

222c?2,c?1, ?b2?3.

x2y2??1 ……………….4分 所以椭圆E的方程是：433?F1(?1,0),F2(1,0)，?PF1?F1F2 ?P(?1, ) ……….5分

23（Ⅱ）线段PF2的中点M(0,)

4332252∴ 以M(0,)为圆心PF2为直径的圆M的方程为x?(y?)?

44165圆M的半径r? …………….8分

4以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x?y?4 ，圆心为O(0,0)，半径为R?2 圆M与圆O的圆心距为|OM|?2235?2??R?r 所以两圆相内切 ………10分 44（Ⅲ）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切 ………11分 设F?是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m(m?0)， ∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，

??2m则有GF?GF ，则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为

r?1GF， 2以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R?m， 两圆圆心O、M分别是FF?和FG的中点， ∴两圆心间的距离OM?11GF??m?GF?R?r，所以两圆内切．…….14分 2221．解：（Ⅰ）由

x?1?0，解得x??1或x?1， x?1∴ 函数的定义域为(??,?1)?(1,??) …………………2分 当x?(??,?1)?(1,??)时，

?x?1x?1x?1?1x?1?loga?loga()??loga??f(x) ?x?1x?1x?1x?1x?1∴ f(x)?loga在定义域上是奇函数。 …………….4分

x?1f(?x)?loga（Ⅱ）由x?[2,4]时，f(x)?loga①当a?1时 ∴x?1m?loga恒成立， x?1(x?1)2(7?x)x?1m??0对x?[2,4]恒成立 2x?1(x?1)(7?x)∴ 0?m?(x?1)(x?1)(7?x)在x?[2,4]恒成立 ………………………6分 设g(x)?(x?1)(x?1)(7?x),x?[2,4]

则g(x)??x?7x?x?7

32752g?(x)??3x2?14x?1??3(x?)2?

33∴当x?[2,4]时，g?(x)?0

∴ y?g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min?g(2)?15

0?m?15 …………………………8分 ∴

②当0?a?1时

由x?[2,4]时，f(x)?logax?1m?loga恒成立， x?1(x?1)2(7?x)∴x?1m?对x?[2,4]恒成立 2x?1(x?1)(7?x)∴ m?(x?1)(x?1)(7?x)在x?[2,4]恒成立 ………………………9分 设g(x)?(x?1)(x?1)(7?x),x?[2,4]

由①可知y?g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max?g(4)?45

m?45 …………………………10分 ∴

45nn?1?loga?????loga?loga 23n?2n?145nn?1n(n?1)?)?loga ?loga(3???????

23n?2n?12n(n?1)f(2)?f(3)?......?f(n)?∴a

2n(n?1)?3，2n?2=2，∴af(2)?f(3)?......?f(n)?2n?2 当n?2时，

2n(n?1)?6，2n?2=6，∴af(2)?f(3)?......?f(n)?2n?2 当n?3时，

2n(n?1)f(2)?f(3)?......?f(n)??2n?2 …………………………12分 当n?4时，a2n(n?1)f(2)?f(3)?......?f(n)??2n?2 下面证明：当n?4时，a2（Ⅲ）∵f(2)?f(3)?????f(n)?loga3?loga012n?1n 证法一：当n?4时，2n?2?Cn?Cn?Cn?????Cn?Cn?2

12n?1 ?Cn?Cn?????Cnn(n?1)n2?3nn(n?1)?n??n??

222n(n?1)?2n?2 …………………………14分 2n(n?1)?2n?2 证法二：当n?4时，要证明

2n(n?1)?2?2n 只需要证明

2n(n?1)n(n?1)?2?12，2n?16，?2?2n成立 （1）当n?4时，

22n(n?1)k(k?1)?2?2n成立，即?2?2k （2）假设n?k(k?4)，不等式

22k(k?1)?2]?2?2k 那么2[2∴当n?4时，af(2)?f(3)?......?f(n)?∴k(k?1)?4?2k?1

又因为

(k?1)[(k?1)?1]2?2?[k(k?1)?4]??k2?k?22?0 ∴

(k?1)[(k?1)?1]?2?k(k?1)?4?2k?12

∴n?k?1时，不等式

n(n?1)2?2?2n成立 综合（1）和（2），对?n?N*，且n?4不等式n(n?1)2?2?2n成立 ∴当n?4时，af(2)?f(3)?????f(n)?n(n?1)2?2n?2 …………………………14分 证法三：∵n?4时，

n(n?1)2?2n?2?n(n?1)2?2n?2?0 构造函数h(x)?x(x?1)2?2x?2,x?[4,??) h?(x)?x?2xln2?12 [h?(x)?]?h??(x?)?1x22l n2∴当x?[4,??)时，h??(x)?1?2xln22?0 ∴h?(x)?x?2xln2在区间[4,??)是减函数， ∴

当

x?[?时

h?(??x?x)12????x2??992???l? hn2∴h(x)?x(x?1)2?2x?2在区间[4,??)是减函数， x?[4,??)时，h(x)?x(x?1)2?2x?2?h(4)?4?52?24?2??4?0 n?4时，n(n?1)?2nn(n?1)2?2?0，即

2?2n?2 ∴当n?4时，af(2)?f(3)?????f(n)?n(n?1)2?2n?2 …………………………14分?，

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