实对称矩阵正定、半正定的简易判别

目 录

1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 ..................................... 1

2.1 实对称 矩阵的几个定义?3? ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 .............................................. 3 2.3.1 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E2.3.2 n元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数

?9??3?. ................. 4

等于n。 .................... 5

2.4 实对称矩阵A半正定的几个充分必要条件?6?。 ................................................ 5 2.4.1 二次型f?x1,x2,?,xn??xTAx，其中AT?A，f?x1,x2,?,xn?半正定。 . 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的

秩。 ............................................................................................................. 5

2.4.3 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，

但至少有一个特征值等于零。 ....................................................................... 5

2.4.4 实对称矩阵A的所有主子式皆大于或等于零。 ............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C使A?CC，则A半正定。 ..................................................... 5

T2.4.6 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵??Er?00??合同。..... 5 0?3.利用合同变换原理推出的降阶法?1?判别实对称矩阵的正定与半正定。 ............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 .......................................................... 13

1

参考文献............................................................................................ 16 致 谢 ................................................................................................. 17

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实对称矩阵正定、半正定的简易判别

摘 要：实对称矩阵是矩阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重要应用。为了更好地用实对称矩阵来解决问题， 本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。

关键词： 实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。

Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite The

Discriminant

Number of classes of the 0701 Wang Chunmiao

Tutor: CaoChunjuan

Abstract: The real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in advanced algebra has important applications in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussion.

Key words: real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple discrimination.

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1 引言

实对称矩阵正定、半正定的判别问题, 实际上就是二次型函数XTAX的正定性、半正定性的判别问题, 因此我们也可把问题转化到判断二次型函数

TXAX的正定性、半正定性的问题。或者也可以根据其他方法如合同变换等来

判别。目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法,方法有繁有易。由于判断一个实对称矩阵为正定、半正定在实际工作中是很有必要。本文将列举一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方法进行证明，并加以举例说明。

2 实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法

2.1 实对称矩阵的几个定义?3?

定义1：设f?x1,x2,?,xn?是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数

c1,c2....cn，如果有f?c1,c2,?,cn?>0，那么f?x1,x2,?,xn?称为正定。

定义2：设f?x1,x2,?,xn?是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数

c1,c2....cn，如果有f?c1,c2,?,cn??0，那么f?x1,x2,?,xn?称为半正定。

定义 3：设二次型f?x1,x2,?,xn??xTAx，其中AT?A,若f?x1,x2,?,xn?正定或半正定，则A称为正定或半正定矩阵。

定义4：合同变换的定义：设A,B?Fn?n如果存在非奇异矩阵P?Fn?n，使得

B?PAP则称A和B合同，这种变换称为合同变换。对称矩阵经合同变换后仍

T为对称矩阵。

2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:

在实际应用和理论研究中, 判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。到目

?aij均为实数，aij?aji,i,j?1,?n?为正定前为止, 判别一个实对称矩阵A=?aij?，

的充分必要条件有下列四种方法?2?：

?1? A的所有特征值都大于0.

1

?2? A的L?LT分解存在, 其中L 是F三角形矩阵, LT是L 的转置矩

阵,Iii=1?i?1,2,?,n?是L 的主对角线元素, 且Iii>0.

分解存在, 其中L1是F三角形矩阵, Iii=1?i?1,2,?,n? 是L的?3? A的L1DLT1主对角线元素, D是以dii>0 ?i?1,2,?,n?为主对角线元素的对角线矩阵。

?4? 在不选主元素的高斯消去法中, A的主元素都大于0.

现举一例如下, 说明上述四种方法的应用。

?22例 判别实对称矩阵A=?????225?4?2???4的正定性。 ?5??解：1. A的特征多项式为

???2??E?A=?2???2?2?2?4=???1?????10? ???5??2??54所以A的特征值：?1??2?1，?3?10都是正数，故A是正定的。

?l11l 2.设L=??21??l31?l11?TL?L=l21???l310l22l320l22l32?l11?0???00??0 ?lii?0,i?1,2,3?，则 ?l33??l21l2202l31??l11??l32=?l21l11??l33???l31l110??0??l33??l11l21l21?l22l31l21?l32l2222??l21l31?l22l32? 222l31?l32?l33??l11l312若令 A= L?LT，则有： l11?2， l11l21?2， l11l31??2

l21?l22?5，l21l31?l22l3222222?l32?l33=5 =-4，l31由此既得，

l11=l21?2 ， l31?-2， l22?03?23300153???????3， l32??233， l33?153

??2所以，L=?2???2??

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