概率论与数理统计作业及解答(6)

概率论与数理统计

???X?u?/2????14.95?0.196,14.95?0.196???14.754,15.146?.

n??1n2(2) 样本方差S?(Xi?X)2?0.051, ?n?11?的1???0.95置信区间半长为

S0.051?t0.025(5)?2.571?0.0922?0.237,

6n因此?的0.95置信区间为

t?/2(n?1)S??X?t(n?1)??/2????14.95?0.237,14.95?0.237???14.713,15.187?.

n??

 

 

 

★2. 为了解某型号灯泡使用寿命X(单位:小时)的均值μ和标准差?? 今测量10只灯泡? 测得x?1500? S?20? 若已知X服从正态分布N(?? ? 2), 求? (1)置信度为0.95的总体均值? 的置信区间? (2)置信度为0.90的总体方差? 2的置信区间?

S20?t0.025(9)?2.262?6.322?14.3, (1) 置信区间半长t?/2(n?1) n10当?2未知时,?的1???0.95置信区间为

S??X?t(n?1)??/2????1500?14.3,1500?14.3???1485.7,1514.3?.

n??(2) 已知参数n?10,S2?202,??0.10,上侧分位数为

22?0.05(9)?16.919,?0.95(9)?3.325, 置信区间两端(下限,上限)为

(n?1)S29?2023600???212.78, 22??(n?1)?(9)16.919/20.05(n?1)S29?2023600?2??1082.71, 2?1??/2(n?1)?0.95(9)3.325因此灯泡使用寿命方差?2置信度为1???0.90的置信区间为

?(n?1)S2(n?1)S2?,2?2??[212.78,1082.71].

???/2(n?1)?1??/2(n?1)?

 

 

 

 

 

★3. 对方差?2??02为已知的正态总体? 问须抽取容量n为多大的样本, 方能使总体均值? 的置信度为1??的置信区间的长度不大于L?

24?0?02?L,取n?u?/22的整数? 总体均值?的置信区间长度为2u?/2Ln

2

★4? 已知某种元件的寿命X~N(?? ?)? 现随机地抽取10个试件进行试验, 测得数据如下?82, 93, 57, 71, 10, 46, 35, 18, 94, 69.

(1)若已知? ?3, 求平均抗压强度? 的95%的置信区间?

(2)求平均抗压强度?的95%的置信区间? (3)求? 的95%的置信区间? (1)?的置信区间中心

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1n1X??Xi?(82?93?57?71?10?46?35?18?94?69)?57.5,

ni?110?3当?2?32时,?的1???0.95置信区间半长u?/2?1.96??1.861,

n10因此?的0.95置信区间为

 

???X?u?/2????57.5?1.861,57.5?1.861???55.639,59.361?.

n??2(2) 上侧分位数?0.025(9)?19.023,?12?0.025(9)?2.700,

2

1n21X??Xi?(822?932?572?712?102?462?352?182?942?692)?4102.5

10i?110样本方差

2nnnn??1111??22222S?(Xi?2XiX?X)???Xi???Xi?? ?(Xi?X)?n?1??i?1n?1n?i?1??n?1i?1i?1??n10?X2?X2?(4102.5?57.52)?884.722,S?29.74 n?19?的1???0.95的置信区间两端(下限,上限)为

??n?1S?2??(n?1)/2n?1S??12??/2(n?1)(n?1)S29?884.72??20.5 2??(n?1)19.023/2(n?1)S29?884.72??54.3.

?12??/2(n?1)2.700

 

因此元件寿命标准差?的0.95置信区间为

?(n?1)(n?1)?S,S???[20.5,54.3]. 22?1??/2(n?1)????/2(n?1)

2★.两正态总体均值差?1??2的1??置信区间．当?12??2??2未知时?

22??11?2?(m?1)Sx?(n?1)Sy2~?(m?n?2). X?Y~N??1??2,?????,2??mn???22由于X,Y,Sx相互独立?构造服从分布t(m?n?2)的统计量(枢轴量) ,Sy

T?mn(m?n?2)m?nX?Y?(?1??2)(m?1)S?(n?1)S2x2y~t(m?n?2).

记S?2w22(m?1)Sx?(n?1)Sym?n?2，则?1??2的二样本t置信区间为

?1111?X?Y?t(m?n?2)S?,X?Y?t(m?n?2)S??. ??2w?2wmnmn??★5? 随机地抽取A 批导线4根? B批导线5根? 测得起电阻为(单位? 欧姆) A ? 0.143? 0.142? 0.143? 0.137?

B ? 0.140? 0.142? 0.136? 0.138? 0.140

设测得数据分别服从正态分布N(?1? ? 2)? N(?2? ? 2)? 且它们相互独立? ?1? ?2? ? 均未知? 求?1??2的95%的置信区间?

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1m1X??Xi?(0.143?0142?0.143?0.137)?0.1413

mi?141n1Y??Yi?(0.140?0142?0.136?0.138?0.140)?0.1392

ni?152Sw?(m?1)S?(n?1)Sm?n?22x2y??(Xi?1mi?X)??(Yi?Y)22i?1nm?n?2

?12?(0.143?0.1413)2?(0.142?0.1413)2?(0.137?0.1413)2 ?7?2?(0.140?0.1392)2?(0.142?0.1392)2?(0.136?0.1392)2?(0.138?0.1392)2?

?6.5086?10?6,Sw?0.00255

上侧分位数t?2(m?n?2)?t0.025(7)?2.3646,

2当?12??2??2未知时,?1??2的1??置信区间半长为

1111??2.3646?0.00255???0.0128 mn45?1??2的1???0.95置信区间为 t?2(m?n?2)Sw?1111??,X?Y?t?2(m?n?2)Sw?? ?X?Y?t?2(m?n?2)Swmnmn????0.02?0.0128???0.0072,0.0328?.

 

★6? 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值1.64米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值1.62米, 样本标准差0.4米. 求? (1)两正态总体均值差的95%的置信区间? (2)两正态总体方差比的95%的置信区间? (1) 分位数t?2(m?n?2)?t0.025(18)?2.1009,

9?0.22?9?0.421Sw???,

m?n?218102当?12??2??2未知时,?1??2的1??置信区间半长为

2(m?1)Sx2?(n?1)Sy

2.1009211111??0.2971. ??2.1009???10mn101010?1??2的1???0.95置信区间为

t?2(m?n?2)Sw

?1111??,X?Y?t?2(m?n?2)Sw??. ?X?Y?t?2(m?n?2)Swmnmn????1.64?1.62?0.2971????0.2771,0.3171?.

 

 

2★(2)两正态总体(期望未知)的方差比?12/?2的1??置信区间．

222由于(n1?1)S12/?12~?2(n1?1),(n2?1)S2~?2(n2?1),且S12,S2独立,构造统计量(枢/?2 第28页 共32页

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S12?12轴量) F?22~F(n1?1,n2?1), 对给定的置信度1??,由

S2?22??S12?21???P?F1??/2(n1?1,n2?1)?2?2?F?/2(n1?1,n2?1)?

S2?1???S12?12S12?11?P??2?, 22?F(n?1,n?1)S?F(n?1,n?1)S2221??/2122???/21其中

1?F?/2(n2?1,n1?1),

F1??/2(n1?1,n2?1)2因此?12/?2的1??置信区间为

?S12S12??110.220.22?,F?/2(n2?1,n1?1)2???,F0.025(9,9) ?222?S2??F0.025(9,9)0.40.4??F?/2(n1?1,n2?1)S2?10.220.22???,4.03??[0.06203,1.0075]. 22?0.4??4.030.4

第十五次作业

★1? 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(?? ? 2)? ? ?40cm/s, ? ?2cm/s? 现在用新方法生产了一批推进器? 从中随机抽取25只? 测得燃烧率的样本均值为X?41.25cm/s? 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s? 问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的改变？取显著性水平??0.05? 1).提出原假设及备择假设.H0:???0?40;H1:???0. 2).选取统计量并确定其分布.U?X??0?/n~N(0,1).

3).确定分位数及拒绝域.上侧分位数u0.025?1.96,拒绝域W?{|U|?1.96}. 4).计算统计量的观测值并作出统计推断.

41.25?40?3.125?W.

?/n2/25因此拒绝原假设,认为在显著性水平??0.05下,推进器的燃烧率显著改变.

★2? 某苗圃规定平均苗高60(cm)以上方能出圃? 今从某苗床中随机抽取9株测得高度分别为 62? 61? 59? 60? 62? 58? 63? 62? 63? 已知苗高服从正态分布? 试问在显著性水平? ?0.05下? 这些苗是否可以出圃？ 1).原假设及备择假设H0:???0?60;H1:???0.

U?X??0?X?60?t(8). S/n3).上侧分位数t0.05(8)?1.8595,得拒绝域W?(??,?1.8595). 2).取统计量T?4).由样本计算得X?61.11,T?

61.11?601.119??0,T?W.

SS/9因此接受原假设H0,即认为在显著性水平??0.05下,这些苗可以出圃.

★3? 5名测量人员彼此独立地测量同一块土地? 分别测得这块土地面积(单位? km2)为

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1.27, 1.24, 1.20, 1.29, 1.23

算得平均面积为1.246? 设测量值总体服从正态分布? 由这批样本值能否说明这块土地面积不到1.25km2?(? ?0.05)

1).原假设及备择假设H0:???0?1.25;H1:???0.

X?1.25?t(4).

S/n3).上侧分位数t0.05(4)?2.1318,得拒绝域W?(??,?2.1318). 2).取统计量T?2

1n4).样本方差为S?(Xi?X)2?0.00123,S?0.035, ?n?11 统计量的实现值为

1.246?1.25T???0.26,T?W.

0.035/5因此接受原假设H0,认为在显著性水平0.05下,这块土地面积达到1.25km2.

★4? 设某电缆线的抗拉强度X 服从正态分布N(10600? 822)? 现从改进工艺后生产的一批电缆线中随机抽取10根? 测量其抗拉强度? 计算得样本均值x?10653? 方差S2?6962? 当显著水平??0.05时? 能否据此样本认为

(1)新工艺下生产的电缆线抗拉强度比过去生产的电缆线抗拉强度有显著提高？ (2)新工艺下生产的电缆线抗拉强度的方差有显著变化？ (1)提出原假设及备择假设.H0:???0?10600;H1:???0.

X?82?t(9). S/n确定分位数及拒绝域.t0.05(9)?1.8331,得拒绝域W?(??,?1.8331). 计算统计量的观测值并作出统计推断. 选取统计量并确定其分布.T?

10653?106005310??0,T?W.

S/106962因此接受原假设,认为在显著性水平??0.05下,新工艺电缆抗拉强度比过

 

去工艺有显著提高.

T?22(2)提出原假设及备择假设H0:?2??0?822;H1:?2??0.

 

在原假设成立的前提下,构造统计量??2(n?1)S22?02确定上侧分位数?12?0.025(9)?2.700,?0.025(9)?19.023,得拒绝域

W?{?2?2.700}?{?2?19.023}. 计算?2统计量的观测值并作出统计推断

~?2(9).

??2(n?1)S22?0?9?6962?9.3186?W. 822

因而接受原假设H0,即认为新工艺下的电缆抗拉强度的方差无显著变化.

 

★5? 设某涤纶强度X~N(?? ? 2)? 用老方法制造的涤纶强度均值是0.528? 标准差0.016? 现改进工艺后? 从新生产的产品中随机抽取9个样品? 测得起强度如下?

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