《数值分析》总复习题（2010年）(2)

本形式 （D） 进行研究。设函数

y(x)是某初值问题的解析解， 则该初值问

题在xn处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 （F） ,它们的关系是 ( G ) .若记

y(xn?1)是初值问题在点xn?1处的解， yn?1是由某数值方法得出的

xn?1处的数值解，则该数值方法在xn?1处的局部截断误差是指 （H） . ?y???xy2?y2） 设初值问题 ??y(0)?1试用Euler方法取h 3 ) 设初值问题 ?,0?x?0.6

?0.2，求解上述初值问题的数值解。

?y??8?3y?y(1)?2,1?x?2

试用梯形方法求其解在两点 x?1.2,近似值。

1.4 处的值y(1.2),y(1.4)的

?y??y2?2x?14） 设初值问题 ??y(0)?1 试用改进的Euler方法，并取h,0?x?1

?0.1，设计一个求解上述初值问题数值解的

求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。 5 ) 设初值问题 ??y??3y/(1?x),0?x?1

?y(0)?1?0.1，设计一个求解上述初值问题数值解

试用4阶经典R-K方法，并取h的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。

九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1） 设x?(0,2,3)T, 求，x?12?A????34?，求

1，

xA2 ,

xA?；

, ?(A)。

设

A1，

?，

2 2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式H(x)和

a) b)

p(x),并写出其余项公式:

H(?1)??1,H(0)?H?(0)?0,H(1)?1p(0)?1,p(1)?p?(1)?0,p(2)?2 3 ) 用插值方法求在x多项式

?0处与cosx相切 ,在x??2处与cosx相交的二次

p2(x) ,并推导插值余项的估计式为

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cosx?p2(x)?12?x|x?|62

4 ) 试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:

?2x1?4x2?11?3x?5x?3?12 ?

x?2x?62?1??2x1?x2?7 5 ) 要计算函数

y(x)??edt 在x = 0.2, 0.4, 0.6 三处的近似值，

0x?t2试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案 （要求采用二阶精度的计算公式）.

?21??x1??1??131??x??2???2???? 6) 用追赶法解三对角方程组： ??111??x3??2???????21??x4??0??7) 对方程组

Ax?b,(k?1)?12??1?A???,b??2?0.31????拟用迭代法

x?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?

求解, 试确定 ? 的取值范围,使得上述迭代公式收敛.

8) 对迭代函数?(x)?x??(x2?5)，试求使迭代公式

xk?1??(xk),k?0,1,?，

局部收敛于x9) 试给出求

??5的?的取值范围。

,C?0 的Newton 迭代公式, 使得迭代公式没有开方和

1C除法运算.

10) 由迭代公式xk?1初值x0?1xk?,xk2k?0,1,?， 产生的序列?xk?对任何

?1均二阶收敛于什么？解释其原理。

211) 写出求方程 x?2x?1?0 的

Newton 迭代公式，并指出其收敛阶

(数)。（可以有两种答案）

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12） 若用Euler公式（ y n+1 = y n + h f (x n , y n ) ） 解初值问题

?y???y??y(0)?2证明其数值解为

yn?2(1?h)n，并证明它收敛于准确解

y(xn)?2e?xn

讨论该数值方法的绝对稳定条件。 13） 设

是区间?0,1?上带权??x而最高次项系数为1的正交 ?qk(x)??k?0多项式族，其中q0(x)?1，试求q1(x)。

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