限时速解训练十 正、余弦定理及解三角形
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) π
1．在△ABC中，已知A＝，BC＝3，AB＝6，则C＝( )
3π5π
A.或 66πC. 6
B.D.π 4π3π或 44
632π3π
解析：选B.由正弦定理＝，即sin C＝，因为0＜C＜π，所以C＝或C＝，
sin Cπ244
sin
3ππ
因为c＝6＜a＝3，所以C＜，则C＝，故选B.
342．已知△ABC的三边分别为4,5,6，则△ABC的面积为( ) 157
A.
2157C.
8
B.157
4157
16
2
2
2
D.
4＋5－61
解析：选B.设a＝6，b＝5，c＝4，则由余弦定理得cos A＝＝，所以sin A＝2×4×5837137157＝，S△ABC＝×5×4×＝.
8284
1
1－64
3．(2016·山西朔州一模)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析：选C.由于sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，结合正弦定理可知，a∶b∶c＝5∶11∶
a2＋b2－c225＋121－16913，不妨令a＝5，b＝11，c＝13，由于cos C＝＝＜0，∴C为钝角，
2ab2×5×11
故△ABC是钝角三角形．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于( )
2
2
5πA. 6πC. 3
解析：选D.由题意得c＝23b，
B.D.
2π 3π 6
b2＋c2－a2－3bc＋23bc3
cos A＝＝＝，
2bc2bc2
π
∴A＝.
6
5．(2016·湖南常德调研)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A.C.3
2
3＋6
2
2
2
B.D.
33
23＋39
4
2
2
2
解析：选B.由余弦定理得AC＝BC＋AB－2AB·BCcos B，即(7)＝2＋AB－2×2AB·cos 332
60°，即AB－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
2
π
6．(2016·江西上饶一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，
3
2
b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A.3 23 6
B.3 43 8
C.D.
π
解析：选B.由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝3，又B∈
3ππ113
(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×33222＝3
. 4
7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点 B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ) A．22 km C．33 km
解析：选B.画出示意图如图所示，
B．32 km D．23 km
15
由条件知AB＝24×＝6.在△ABS中，
60
∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
BSABABsin 30°
所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝32.
sin 30°sin 45°sin 45°
A．5 C．－4
B．6 D．－6
解析：选B.由正弦定理及已知得sin A＝5sin Bsin C，① 又cos A＝5cos Bcos C，②
由②－①得cos A－sin A＝5(cos Bcos C－sin Bsin C)＝5cos(B＋C)＝－5cos A，∴sin A＝6cos A，∴tan A＝6，选B.
9．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( ) A．(2，3) C．(2，2)
B．(1，3) D．(0,2)
解析：选B.∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A， ∴sin B＝2sin Acos A，∴b＝2acos A， 又∵a＝1，∴b＝2cos A，
πππππ
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜，即0＜A＜，0＜2A＜，0
22222πππ13
＜π－A－2A＜，∴＜A＜，∴＜cos A＜，∴1＜2cos A＜3，
26322∴b∈(1，3)．
10．(2016·北京东城一模)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝33，则BC＝( ) A．5 C.37
B.13或37 D.13
113
解析：选D.由S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×4×sin∠BAC＝33，得sin∠BAC＝，
222
?π?故∠BAC＝π，在△ABC中，由余弦定理得，
因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC∈?0，?，
2?3?
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝42＋32－2×4×3×cos＝13.所以BC＝13，故选D.
11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋3c－2b＝1，则角B为( ) πA. 4πC. 3
解析：选B.因为acos C＋
B.D.π 6π 12
3
c＝b，若a＝1，2
π3
33
c＝b，所以sin Acos C＋·sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin 2233
sin C＝cos Asin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因22
Acos C＋cos Asin C，所以
π222
为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a＝b＋c－2bccos A，知1＝b2＋c2－3bc，
6
?1＝b＋c－3bc，联立?
?3c－2b＝1，
22
11×2abbsin A解得c＝3，b＝1，由＝，得sin B＝＝sin Asin Ba1
1π
＝，∵b＜c，∴B＜C，则B＝，故选B. 26
2tan A·tan B22212．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a＋b＝2 018c，则
tan C?tan A＋tan B?的值为( ) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018
2tan A·tan B解析：选C.
tan C?tan A＋tan B?sin Asin B2··cos Acos B＝ sin C?sin Asin B?＋·??cos C?cos Acos B?
2sin Asin Bcos Acos B＝ sin C?sin Acos B＋sin Bcos A?
cos Acos Bcos C2sin Asin Bcos C＝ 2
sinC2ab2aba＋b－ca＋b－c＝2·cos C＝2·＝ cc2abc2
2
2
2
2
2
2
2 018c－c＝＝2 017，故选C. 2
22
c二、填空题(把答案填在题中横线上)
sin A13．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，那么＝________.
sin?A＋C?sin Asin Aa2
解析：由正弦定理得＝＝＝.
sin?A＋C?sin Bb32答案：
3
33
14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，
4
B＝，则b＝________.
1222
解析：由题意可得S＝acsin B，解得c＝1，由余弦定理可得b＝a＋c－2accos B＝9＋1
2－3＝7，故b＝7. 答案：7
15．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，△ABC的面积为解析：由正弦定理得sin C＝
3
，则∠C＝________. 2
π3
ABsin 30°313
＝.又S△ABC＝AC·BCsin C＝，所以BC＝2.AC222
因为AB＜BC，所以∠C＜∠A，所以∠C＝60°. 答案：60°
16．在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2Ssin →→
A＜(BA·BC)·sin B，则下列结论中： ①a＜b＋c；②c＞a＋b；
③cos Bcos C＞sin Bsin C；④△ABC是钝角三角形． 其中正确结论的序号是________． →→
解析：∵2Ssin A＜(BA·BC)sin B， 1
∴2×bcsin A×sin A＜cacos Bsin B，
2∴bcsin Asin A＜acsin Bcos B， 又由正弦定理可得：bsin A＝asin B＞0，
∴cos B＞sin A＞0，∴A、B均是锐角，而cos B＝sin(90°－B)，故有sin(90°－B)＞sin
2
2
2
2
2
2
A，即90°－B＞A，则A＋B＜90°，∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形，∴由余弦定理可
a2＋b2－c2b2＋c2－a2222222
得：cos C＝＜0，cos A＝＞0，即有c＞a＋b，a＜b＋c，故①②④
2ab2bc正确；
∵cos Bcos C－sin Bsin C＝cos(B＋C)＝－cos A＜0，故③不正确，故答案为①②④. 答案：①②④
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