蔡继明微观经济学习题第8 章(2)

A是厂商的广告支出费用，求利润最大时的A、Q、和P的值。 解：

已知垄断者面临的需求函数为P=100-3Q+4A，则边际收益MR=100-6Q+4A 又知TC=4Q+10Q+A

则MC=（TC）′=（4Q+10Q+A）′=8Q+10，利润最大时，MR=MC。即 100-6Q+4A=8Q+10

也即 90-14Q+4A=0 （1）

再从利润π=TR-TC=PQ-（4Q+10Q+A）=（100-3Q+4A）Q-（4Q+10Q+A）得 π=90Q-7Q+4AQ-A 令π对A的偏导数为零，即

???A2QA?1?0 得

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?2Q=A （2） 解方程组（1）、（2）得：A=900 Q=15 把Q=15代入P=100-3Q+4A中得： P=100-3×15+4900=175

8.32 设垄断厂商的产品的需求函数为P=12-0.4Q，总成本函数TC=0.6Q+4Q+5，求： （1） Q为多少时总利润最大，价格、总收益、及总利润各为多少？

（2） Q为多少时使总收益最大，与此相应的价格、总收益及总利润各为多少？

（3） Q为多少时使总收益最大且总利润π≥10，与此相应的价格、总收益及总利润为多少？

解：

（1） 总利润最大化的条件是MC=MR。已知厂商的产品需求函数为P=12-0.4Q，则MR=12-0.8Q，

又知TC=0.6Q+4Q+5，则MC=(TC)′=1.2Q+4。总利润最大时，MR=MC，即12-0.8Q =1.2Q+4 ∴Q=4

把Q=4代入P=12-0.4Q中可得： P=12-0.4×4 = P=10.4

总收益TR=PQ=10.4×4=41.6

总利润π=TR-TC=41.6-（0.6×4+4×4+5）=11

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（2） 总收益TR=PQ=12Q-0.4Q。要使总收益最大，即要求TR=12Q-0.4Q最大。据微积分方

2dTRdTR?0，且法，只要令< 0 ， =12-0.8Q=0

2dQdQdQ2 2

dTR ∴Q=15

2dTR不难得出=-0.8 < 0 ， 故Q=15时TR最大

2dQ把Q=15代入P=12-0.4Q中得:P=12-0.4×15=6

总收益TR=PQ=6×15=90； 总利润π=TR-TC=90-（0.6×15+4×15+5）=-110 （3） 既要使总收益最大化，又要使π≥10。即求同时满足以上两个条件的产量水平。利润

π=TR-TC=12Q-0.4Q-（0.6Q+4Q+5）=- Q+8Q-5，要使π≥10。最少π=10 即- Q+8Q-5=10

解方程得：Q1 =3 Q2 =5 分别代入TR=PQ中，

TR1=P1Q1 =（12-0.4Q1）Q1 =(12-0.4×3)×3=32.4 TR2=P2Q2 =（12-0.4Q2）Q2 =(12-0.4×5)×5=50

∵ TR1< TR2 ，∴ Q为5时总收益最大为50，且π≥10。 利润π=TR-TC=50-（0.6×5+4×5+5）=10。 相应的价格为P=12-0.4×5=10

8.33 某垄断者的短期成本函数为STC=0.1Q-6Q+140Q+3000，成本用美元计算，Q为每月

产量为使利润最大，他每月生产40吨，由此赚得的利润为1000美元。 （1） 计算满足上述条件的边际收益，销售价格和总收益。

（2） 若需求曲线为一条向右下倾斜直线，计算需求曲线均衡点的点弹性系数之值。 （3） 假设需求曲线为直线：PQ=a-bQ，从需求曲线推导出MR曲线，并据此推导出需求方程。 （4） 若固定成本为3000，价格为90，该厂商能否继续生产？如要停止生产，价格至少要

降到多少以下？

（5） 假设政府对每一单位产品征收一定税款，由此导致利润最大化的产量由原来的40吨减

39吨，请根据给定的需求状况和成本状况计算出产量为39吨的MR和MC，然后算出每单位产品的纳税额。 解：

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（1） 已知利润最大时的产量为40吨，而利润最大化的条件是MR=MC。要求MR，只要

求出Q=40时的MC。MC=

dSTCdQ=0.3Q2-12Q +140，把Q=40代入MC=0.3Q2-12Q +140

中可得：MC=0.3×402-12×40 +140=140，也即MC=140美元。又知π=1000美元，而π=TR-STC，那么TR=π+STC.，当Q=40时，STC=0.1×403-6×402 +140×40+3000=5400（美元）

∴ TR=π+STC=1000+5400=6400（美元）。至于销售价格，可根据STR=PQ求得： P=

STCQ=

640040=160（美元/吨）

（2） 根据MR=P（1+

1Ed）可求得ED。根据上面的计算知道，在均衡点上P=160，MR=140，

∴ 140=160（1+

1Ed）， ED=-8，均衡点的点弹性系数为-8。

（3） 推导需求方程可以有两种方法。

方法一：根据弹性系数可以求出需求曲线的斜率B ∵ED =

dQ160dQP??， 即 -8=， dP40dPQ∴

dQdP=-2，则B=

dPdQ=-

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12把B=-

12代入假设的需求方程P=A+BQ得：P=A -12Q

又已知P=160时Q=40，也即160=A - ∴ A=180， 需求方程为 P=180-12×40

Q

方法二：根据MR曲线与需求曲线求出A和B，需求方程假设为P=A-BQ，则MR=A-2BQ，前面已求出P=160时，MR=140，Q=40，则： 160=A-40B

140=A-80B

解以上方程组得：B=-12，A=180，需求方程为P=180-

12Q

（4） 已知STC=0.1Q3-6Q2 +140Q+3000，SFC=3000，所以SVC=0.1Q3-6Q2 +140Q，厂商能

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否生产要看SAVC的最低点是否小于价格90。SAVC=

SVCdQ=0.1Q2-6Q +140，根据微

积分原理，要求SAVC的最小值，只要令

dSAVCdQ=0，即：0.2Q-6=0，得Q=30。把

Q=30代入SAVC=0.1Q2-6Q +140，得SAVC=0.1×302-6×30 +140=50，50<90，即SAVC

的产量由原来的40吨减为39吨，即Q=39，则MR=180-39=141（美元）。前面已算出SMC=0.3Q-12Q+140。把Q=39代入SMC=0.3Q-12Q+140中得：SMC=0.3×39-12×39+140=128.3（美元）。

上面计算出来的SMC.与MR的值不相等。那么是利润没有达到最大吗？不是的。正是因为征税，使SMC.与MR不等。而MR与SMC.之间的差额就是每单位产品的纳税额。故每单位产品的纳税额=MR-SMC.=141-128.3=12.7（美元）。

8.34 假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P=10-3Q，成本函数为TC=Q+2Q。 （1） 求利润最大时的产量、价格和利润。

（2） 如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争行业所能达到的产量水

平，则限价应为多少？

（3） 如果政府打算对垄断厂商征收一笔固定的调节税，以使把该厂商所获得的超额利润都

拿去，试问这笔固定税的总额是多少？

（4） 如果政府对该垄断厂商生产的每单位产品征收产品税1单位，新的均衡点如何？ （5） 试比较以上三种方法对消费者的影响。

解：

（1） 已知P=10-3Q，则MR=10-6Q，又知成本函数TC= Q+2Q

∴ MC=（TC）′=2Q+2

利润最大化的条件是MC=MR，即2Q+2=10-6Q，得Q =1 ，把Q=1代入P=10-3Q中得P=10-3×1=7

利润π=TR-TC=PQ-（Q2+2Q）=7×1-（12+2×1）=4

（2） 政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下

利润极大化的条件是P=MC，即10-3Q=2Q+2，∴ Q=1.6 把Q=1.6代入P=10-3Q

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中得：P=10-3×1.6=5.2。此时的利润π=TR-TC=PQ-（Q2+2Q）=5.2×1.6-（1.62+2×1.6）=-2.56。这说明在政府限价时，厂商亏损了。

（3） 如果政府征收的固定调节税恰好把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的

固定调节税就是4单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零。 （4） 如果政府对垄断厂商的每单位产品征收1单位产品税，这种单位产品税是随着产量变

化而变化的一项可变成本，它会导致垄断厂商的AC曲线和MC曲线向上移动，使原有的均衡位置发生变化。由于增加单位产品税如同增加MC，故征税后利润最大化的条件为MC+1=MR，即（2Q+2）+1=10-6Q ∴ Q= 把Q=

7878=0.875

代入P=10-3Q中，得P=7.375

征收单位产品税后的利润π=TR-TC=PQ-（Q2+2Q）=7.375×0.875-（0.8752+2×0.875）=3.9375

征收单位产品税之前，垄断厂商的均衡产量为1单位，制定的价格为7单位，利润为4 单位。征收单位产品税后，均衡点位置发生了变化。垄断厂商新的均衡产量为0.875单位，制定价格为7.375单位，利润π为3.9375单位。

（5） 消费者能从第一种方法即政府迫使垄断厂商采取限价措施扩大产量中得到好处，因为

他们能以较低价格买到较多商品。第二种方法即政府对垄断者征收一笔固定调节税对消费者来说没有直接得到好处，因为价格和产量没有任何变化。第三种方法即政府对垄断厂商征收一单位的单位产品税，对消费者来说没有好处，反而受损。因为征收单位产品税后，产量下降了0.125单位（1-0.875=0.125），价格却上涨了0.375单位(7.375-7=0.375)。这意味着垄断者把部分单位产品税通过提高价格转嫁给了消费者。以上三种方法都使利润下降，尤其第一种方法使利润下降最多。 8.35 设垄断者的产品反需求曲线为P=16-Q，P以美元计，求： （1） 垄断者出售8单位产品的总收益为多少？

（2） 如果垄断者实行一级价格歧视，垄断者的收益为多少？他攫取的消费者剩余为多少？ （3） 如果垄断者实行二级价格歧视，对前4个单位的商品定价为12美元，对后4个单位

的商品定价为8美元。垄断者攫取的消费者剩余为多少？ 解：

（1） 垄断者出售8单位产品的总收益TR=PQ=（16-Q）Q ，已知Q=8，∴TR=（16-8）×8=64

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