2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：解直角三角形(7)

即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米

23．（2013湖北省鄂州市，21，9分）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，

≈1.41，

≈2.24）

考点：勾 股定理的应用． 专题：应 用题． 分析：（ 1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可； （2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确． 解答：解 ：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米， ∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°， ∴AC=∴x米，BD=x米， x+x=150﹣10， =70（﹣1）（米）， 解得x=∴楼高70（ （2）x=70（﹣1）米． ﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，

∴我支持小华的观点，这楼不到20层． 点评：本 题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般．

24.（2013湖北黄冈，22，8分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB．（结果保留整数，3?1.73，

2?1.41）

【答案】解：依题意可知：∠AEB＝30°，∠ACE＝15°，又∠AEB＝∠ACE＋∠CAE， ∴∠CAE＝15°． ∴∠ACE＝∠CAE． ∴AE＝CE＝100(m)．

又在Rt△AEF中，∠AEF＝60°， ∴EF＝AE·cos60°＝50（m）， AF＝AE·sin60°＝503(m)． 又在Rt△BEF中，∠BEF＝30°， ∴BF＝EF·tan30°＝50×3503＝(m)． 335031003＝≈58（米）． 33∴AB＝AF－BF＝503－答：塔高AB大约为58米．

【解析】先根据三个已知角度发现∠ACE＝∠CAE，得AE＝CE＝100m．然后，在Rt△AEF中，运用解直角三角形知识求出EF、AF的长，再在Rt△BEF中解直角三角形，求出BF长即可获解．

【方法指导】本题考查解直角三角形的应用．解决这类问题的关键是结合图形，将文字语言

转化为数学符号语言后，理解已知元素和未知元素的联系，将问题转化为在某个Rt△中，已知某角、某边，求某边这样的解直角三角形问题．

25．（2013江苏苏州，25，7分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．

l

第25题图

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 【思路分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；

（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=出BC=2BF=2km．

【解】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=x km．

1AB=1 km，再解Rt△BCF，得2l

第25题图

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°， ∴BD=PD=x km．

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°－60°=30°， ∴AD=3PD=3x km．

∵BD+AD=AB， ∴x+3x=2， x=3－1，

∴点P到海岸线l的距离为（3－1）km； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F． 在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°， ∴BF=

1AB=1km． 2在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°． 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°， ∴BC=2BF=2km，

∴点C与点B之间的距离为2km．

【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

【易错警示】不会作辅助线，构造直角三角形，无法解决问题．

26．（2013湖南益阳，18，8分）如图7，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB?80.0米，?PAB?38.5?,?PBA?26.5?．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）

(参考数据：sin38.5??0.62，cos38.5??0.78，tan38.5??0.80，sin26.5??0.45，

cos26.5??0.89，tan26.5??0.50)

P 38.5° A D 图7

26.5° B

【思路分析】因为PD是两个直角三角形公共边，所以可以设PD的长为x米，然后利用锐角三角函数把AD和BD分别用x表示出来，最后利用AB的长列出方程求出x的解。 【答案】：解：设PD?x米，

∵PD?AB，

∴?ADP??BDP?90?．

在Rt△PAD中，tan?PAD? ∴AD?x， ADxx5??x．

tan38.5?0.804在Rt△PBD中，tan?PBD? ∴DB?x， DBxx??2x．

tan26.5?0.50又AB=80.0， ∴

5x?2x?80.0． 4∴x?24.6，即PD?24.6． ∴DB?2x?49.2．

答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．

【方法指导】“双直角三角形”是锐角三角函数部分最常见的类型，一般分两种情况：一是两个直角三形在公共边的同侧；二是两个直角三角形在公共边的异侧。解题的一般方法就是设公共边为x，然后利用锐角三角函数把表示一些边的长度，最后根据题意列出方程，即可求解。

27．（2013广东广州，22，12分）如图10，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均

收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.

（1） 求船P 到海岸线MN 的距离（精确到0.1 海里）；

（2） 若船A、船B 分别以20 海里/小时、15 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援， 试通过计算判断哪艘船先到达船P 处.

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