江西省师大附中等7所重点学校2011届高三联考试卷（数学理）(2)

高三联考数学（理科）参考答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 二、填空题 11． 170

12．

4?3

13．4 14．1028

15．（1）43 (2)(??,5] 三、解答题

16．解：（Ⅰ）由f????5，得3sin2??23sin?cos??5cos2??5．

1?cos2?1?cos2??3sin2??5?5． ∴3sin2??cos2??1， 22即3sin2??1?cos2? ?23sin?cos??2sin2? ∴3sin??0或tan??3， ∴tan??0或tan??3．??????5分

2accosBccosB1cosB11（Ⅱ）由?,即?,得?,则cosB?即

2abcosC2a?cbcosC2a?csinBcosC2sinA?sinC23又f?x??3sin2x?23sinxcosx?5cos2x?3sin2x?cos2x?4＝

π)?4???????????????10分 6?1π由0?x?，则剟sin(2x?)1，故5剟f(x)6，即值域是?5,6?.???12分

32617．解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．

521?有p2?(1?p)2?． 解得p?或p?．

93312?p?， ?p?． ????????????5分

23（Ⅱ）依题意知，依题意知，?的所有可能值为2，4，6．??????6分

5设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则

9甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．

555205516从而有P(??2)?， P(??4)?(1?)()?， P(??6)?(1?)(1?)?1?．

999819981 ??????????????????10分

?随机变量?的分布列为：

? 2 4 6 2sin(2x?P B??，?????????????8分

5 920 8116 81 52016266则E??2??4??6??. ????????12分

E 981818118．解：（法一）（1）?EA?平面ABC，BM?平面ABC， ?EA?BM． 又?BM?AC，EA?AC?A， ?BM?平面ACFE 而EM?平面ACFE

A ?BM?EM． ?AC是圆O的直径，??ABC?90?．

F O ? M C H B G

又??BAC?30?，AC?4，

?AB?23,BC?2,AM?3,CM?1．

FCGC1??， ?EA?平面ABC,FC//EA，

EAGA3?FC?平面ABCD．

??EAM与?FCM都是等腰直角三角形． ??EMA??FMC?45?．

??EMF?90?，即EM?MF（也可由勾股定理证得）． ?MF?BM?M， ?EM?平面MBF． 而BF?平面MBF，

?EM?BF．????????????????6分

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH?BG，连结FH． 由（1）知FC?平面ABC，BG?平面ABC， ?FC?BG．

而FC?CH?C，?BG?平面FCH． ?FH?平面FCH， ?FH?BG，

??FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角． ????8分

在Rt?ABC中，??BAC?30?，AC?4， ?BM?AB?sin30??3． FCGC1由??，得GC?2． EAGA3?BG?BM2?MG2?23． 又??GCH~?GBM，

GC?BM2?3GCCH??1． ，则CH???BGBGBM23??FCH是等腰直角三角形，?FHC?45?．

?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2． ?????12分 2（法二）（1）同法一，得AM?3，BM?3． ?????3分 如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系． 由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3,3,0),F(0,4,1)， ???????? z ?ME?(0,?3,3),BF?(?3,1,1)．

????????E 由ME?BF?(0,?3,3)?(?3,1,1)?0， ?????????得MF?BF， ?EM?BF． ???6分

????????（2）由（1）知BE?(?3,?3,3),BF?(?3,1,1)．

?设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，

F O ? M C y ?????????????3x?3y?3z?0由n?BE?0,n?BF?0, 得?，

x ???3x?y?z?0?令x?3得y?1,z?2，?n?3,1,2， ?????9分

????由已知EA?平面ABC，所以取面ABC的法向量为AE?(0,0,3)， 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为?，

??3?0?1?0?2?32?则cos??cos?n,AE??， 23?22A B ??

2． ????12分 219．解（1）?an?1?f(n?1)?3[an?f(n)] ?an?1?3an?f(n?1)?3f(n),

?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为所以只需f(n?1)?3f(n)?2n?1?4n,

?f(n?1)?3f(n)??A?2n?1?2Bn?(B?2C),??A?1,?2B??4,B?2C?0, ?A??1,B?2,C?1.故李四设想的f(n)存在，f(n)??2n?1?2n?1.

?an?f(n)?3n?1[a1?f(1)]?3n?1(4?2)?2?3n?1,

?an?2?3n?1?f(n)?2?3n?1?2n?1?2n?1.???????5分

（2）Sn?2(1?3?32???3n?1)?(1?2???2n?1)

?[3?5???(2n?1)]?3n?2n?n2?2n. ?Sn?n2?3n?2n?2n,???7分

3n?2n?2n2n?2n由Sn?n?p?3，得 p?. ?1?3n3n3n?2n?2n设bn?，则

3n2n?1?2(n?1)2n?2n2n?4n?22n?2(2n?1),???9分 bn?1?bn?1??1???3n?13n3n?13n?1当n?4时

012n?2n?12n?1?(1?1)n?1?Cn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?Cn?1?2?2(n?1)?2n?2n?1 （也可用数学归纳法证明）

2n?n?4时， bn?1?bn. 容易验证 ,当1?n?3时,bn|?1?bn,?p?(bn)min?b4?73, 8173). ?????????? 12分 81m20．解：（Ⅰ）?l与圆相切,?1? ?m2?1?k2 ???? 2分

1?k2?y?kx?m由?2 , 得 (1?k2)x2?2mkx?(m2?1)?0, 2?x?y?1?p的取值范围为 (??,??1?k2?0??????4m2k2?4(1?k2)(m2?1)?4(m2?1?k2)?8?0 , ?2m?1?x1?x2??0?k2?1??k2?1,??1?k?1,故k的取值范围为(?1,1).???????4分

由于x1?x2?2mk22222， ?x?x?(x?x)?4xx??2112122221?k1?k1?k?0?k2?1 ?当k2?0时，x2?x1取最小值22.?????? 7分

（Ⅱ）由已知可得A1,A2的坐标分别为(?1,0),(1,0)， yyy1y2(kx?m)(kx2?m)?k1?1,k2?2， ?k1?k2??1

x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)m2?12mkk?2?mk?2?m222kx1x2?mk(x1?x2)?mk?1k?1??

x1x2?(x2?x1)?1m2?122??1k2?1k2?1m2k2?k2?2m2k2?m2k2?m2k2?m2??2， 222m?1?22?k?1m?k?2?222

由 m2?k2?1， ?k1?k2??13?2221、解：（1）定义域为(0,??)，由f'(x)?exlnx(lnx?1)??????2分

11令f'(x)?0,解得x?;令f'(x)?0,解得0?x?.

ee11故f(x)的增区间：(,??) ， 减区间：(0,)????????5分

ee2x?12x?1（2）即证：(x?1)ln(x?1)?2x?1?ln(x?1)??ln(x?1)??0

x?1x?113x?22x?1??令g(x)?ln(x?1)?，令g'(x)?0，得x?2，且g(x),由g'(x)?22x?1(x?1)(x?1)x?1在(0,2)?,在(2,??)?，所以g(x)min?g(2)?ln3?1,

故当x?0时，有g(x)…g(2)?ln3?1?0得证????????10分

2x?13（3）由（2）得ln(x?1)?，即ln(x?1)?2?,

x?1x?133?2?,则 所以ln?k(k?1)?1??2?k(k?1)?1k(k?1)ln(1?2?1)?ln(2?3?1)???ln?n(n?1)?1??(2?3?2n?3.n?1????????????????14分 ?2n?3??333?)?(2?)????2?1?22?3n(n?1)?????(3?22)为定值. ????13分

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