多元数量值函数积分学复习

第七章 多元数量值函数积分学

7．1 多元数量值函数积分的概念与性质

一、多元数量值函数积分的概念

??f(M)d?＝I＝limd?0?f(M)??

inii?1可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体?上可积，则f(M)在?上闭有界。

可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体?上连续，则f(M)在?上必可积。 二、多元数量值函数积分的性质 1 1d??d???. 2

?????[?f(M)??g(M)]d??????f(M)d????g(M)d?.

?3

???f(M)d???f(M)d????1???2f(M)d? 4 f(M)?g(M)，则

?f(M)d???g(M)d?|?f(M)d?|??|f(M)|d?

?5 设M,m分别是f(M)在闭几何形体?上的最大值和最小值，则

m???f(M)d??M?

?6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体?上连续，则在?上至少存在一点M0，使得

??f(M)d??f(M0)?

三、多元数量值函数积分的分类 1． 二重积分

?f(?,?)?? 。 ??f(x,y)d?=lim?D?0i?1iiin2． 三重积分

???f(x,y,z)dv=lim???0i?1?f(?i,?i,?i)?vi

nn (1)

3． 对弧长的曲线积分

n?Lf(x,y)ds＝lim?f(?i,?i)?si

??0i?1或

??f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si

??0i?14． 对面积的曲面积分

??f(x,y,z)dS＝lim?f(?,?,??n??0iii)?Si,

i?1 1

7.2 二重积分

计算方法：“画线定限”?累次积分积之。 说明： 1 方法：“画线”定限（切点D）

2 选择积分次序要合适，若先y后xI??x2?10dx?xxsinydx不能积出结果。 y

3 不可积函数 e,cosx2,sinx2,sinx等等 x例1 计算解 I?

2?20dx?e?ydy

x222?y?yedydx?yedy ???000y2212?y221?y221?(1?e?4)； ??edy??e020221 计算

习题

???01dx?e?ydy

xx02x2

2 计算?dx?0sinydy y?1110x

3 f于[0,1]上连续，解 令F(x)?原式?

?10f(x)dx?A，求?dx?f(x)f(y)dy。

?x0f(x)dx，则F(0)?0，F(1)?A，F?(x)?f(x)，

111x00?10?f(x)dx?F?(y)dy??f(x)?F(y)|1xdx??F(x)[F(1)?F(x)]dx

12121?AF(x)|1?F(x)|?A 002211?y例2 交换积分次序 （1）I??dy?0?1?y2f(x,y)dx??dx??101?x20fdx??dx?011?x0fdx

（2）I??0?1dy?1?y?1?yfdx??dy?031?yy?1fdx??dx?2fdy

?1x?121?x

2

例4 （函数的奇偶性与区域对称性） 引例

??ydxdy?0

D13

D1:x?y2和x?1围成

??ysinxydxdy?0

D2D2:x2?y2?R2

D2关于y轴对称，f关于x是奇函数。

D1区域关于x轴对称 f关于y是奇函数

规范语言：I1中被积函数关于y是奇函数，区域关于y?0对称，

I2中被积函数关于x奇函数，区域关于x?0对称，则积分为零。

反之，被积函数关于x是偶函数，区域关于x?0对称，则积分等于一半区间上积分值的二倍。

例 计算

322D:，其中由，y?1，y?xx[1?yf(x?y)]dxdy??Dx??1围成，f连续。

解 作y??x，分区域为D1，D2，D3，D4如图 原式?3??xdxdy???xyf(xD2?y2)dxdy?D1?D2D3?D4??????????????????||00??xyf(x2?y2)dxdy

||0?x3

??????||0D1?D2??xdxdy?D3?D4??xdxdy?2??xdxdy?2?xdx?D3?102dy??

5注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。 例5 （极坐标）计算双纽线(x?y)?x?y围成区域的面积。 解 r?r(cos42222222??sin2?)

?40r2?cos2?

由对称性 S?4??d??4?Dd??cos2??0?0rdr?2?4cos2?d??sin2?|04?1

注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则）

3

例6 计算I??dx?011?x?1?1?r??1?x?y?2???rdr dy?2?d???1?x2?1?x2?y2?00?1?r2?????22212?212

1?1?r?22?11?t?11?t?2??drr?t? ?2???dt??dt?? 2??200022?1?r?22421?t1?t?1212例7 计算

4 (|x|?|y|)dxdy奇偶性4(|x|?|y|)dxdy轮换对称性8xdxdy???????3|x|?|y|?1D1D1关于轮换对称性说明：x,y互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。

例8 计算

af(x)?bf(y)dxdy，其中f连续恒号。 ??f(x)?f(y)x2?y2?R2解 I?af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)dxdy?dxdy ????f(x)?f(y)f(y)?f(x)DD则I?1(a?b)[f(x)?f(y)]a?b2dxdy??R。 ??2Df(x)?f(y)2? 例9 将极坐标形式的累次积分

?40d??acos?0rf(r,?)dr交换积分

次序。

解 将由r,?构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交

换积分次序

?

?40d??acos?0rf(r,?)dr??dr?4rf(r,?)d???00a?a2a?dr?4aarccosrrf(r,?)d?

7.3 三重积分 7.3.1 概念与形式

1．性质：与二重积分相同 2．计算方法： 1）直角坐标：

投影法

????f(x,y,z)dv??dx?aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)dz

截面法

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy

c1Dzc2 4

2） 柱面坐标

???f(x,y,z)dxdydz＝???f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz

???球面坐标

2f(x,y,z)dxdydz?f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d? ???????3） 一般方法

其中

???f(x,y,z)dxdydz????F(u,v,w)|J|dudvdw

VV? （2.6）

F(u,v,w)?f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))。

7.3.2 例题

例1 计算

???ycos(x?z)dv，其中V：z＝0，y＝0，y?x，x?z?V?2围成的区域。

?

解 I?例2 将

Dxy??ydxdy?V20?x?cos(x?z)dz??dx?20x?0ydx?20?xcos(x?z)dz??21?。 162???f(x,y,z)dV，分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形式，

其中V为(z?1)2?x2?y2?1和x2?y2?z2围成部分。

解 （1）直角坐标系下：

I?Dxy??dxdy?2?11?1?x2?y2x2?y2f(x,y,z)dz??dx??111?x2?1?x2dy?1?1?x2?y2x2?y2f(x,y,z)dz

（2）柱坐标系下：

I??d??rdr?002?1?1?r2rfdz

__（3）球坐标系下

?40

I??d??sin?d??02cos?0rfd?

2例3 计算I?成区域。

解 I?322222z?x?yz?1?x?y(x?ysiny?z)dV，其中V：与围???V???xdV????yV?????|03sinydV????zdV V???????V||02其中

24zdV?d?sin?d?rco?srdr???????V0002??1?8。

亦可用柱坐标系

5

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