电子科技大学2004年攻读硕士研究生入学试题
考试科目：313 《数学分析》
注：应届生必做第一至十二题；往届生必做第一至十题，再在后四题中选做两题。
一、填空题（每小题4分,共24分）
x?xcscx?tan3x)1. lim(e= ；
x?022. 3.
??20[e]dx? ;
lnx1?x2x??0dx? ;
?0,4. 设f(x)以4为周期,它在[?2,2]上的表达式为f(x)??x?e,?2?x?0,0?x?2.
则f(x)的Fourier级数在[?4,2]上的和函数S(x)的表达式为S(x)? ; 5. 若L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?z?0的交线,则第一型曲线积分为
?L(x?y)ds? ;
xa22226. 设?:?yb22?zc22?1,则???(x?y?z)dxdydz? .
?222二、选择题（每小题4分,共24分）
1. 函数f(x)?sinxx在(?1,0)?(0,1) .
（A）不连续; （B）处处连续,但不一致连续;
（C）一致连续,但导函数不一致连续; （D）导函数不一致连续. 2. 如果函数f(x,y)在点(1,2)处的从(1,2)到(2,2)的方向导数为2;从(1,2)到(1,1)的方向导数为?2,则函数在点(1,2)处的梯度为 .
（A）4; （B）?4; （C）2i?2j; （D）2i?2j. 3.
（A） （B） （C） （D）
?n4. 函数项级数?n?1(?1)?1?x???的收敛域为 .
2n?1?1?x?n?1（A）[0,??); （B）(?1,1); （C）(??,?1); （D）(?1,1].
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5. 当x?0时,2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy为某一函数u(x,y)的全微分,则常数?? .
（A）1; （B）?1; （C）2; （D）?2. 6. 设F(y)??yln(1?xy)x0dx(y?0),则F?(y)? .
（A）
ln(1?xy)x; （B）
ln(1?y)y2; （C）
2ln(1?y)y2; （D）
ln(1?y)y22.
三、（10分）设xn?1?1?a??xn??(a?0),n?1,2,?,x1?a0,求limxn. ?n??2?xn??x1?x2四、（10分）设f(x)在[0,??)上可微,且0?f(x)?1??222,证明:???(0,??),使得
f?(?)?(1??).
五、（10分）设f(x)定义在(a,b),c?(a,b),又设H(x),G(x)分别在(a,c],[c,b)上连续且?H(x),在(a,c),(c,b)是f(x)的原函数.令F(x)???G(x)?C0,a?x?c,c?x?b.
其中选择C0使F(x)在x?c处连续,就下列情况,回答F(x)是否是f(x)的原函数.
⑴f(x)在x?c处连续;
⑵x?c是f(x)的第一类间断点;
⑶x?c是f(x)的第二类间断点. 六、（10分）设函数y?f(x)(x?0)是连续可导切严格增加函数,f(0)?0,a,b?0.证明:
?a0f(x)dx??b0g(y)dy?ab.
其中g(y)是f(x)的反函数,而等号当且仅当b?f(a)成立.
七、（10分）证明:曲面设f(ax?by,ay?cz)?0上的切平面都于某一直线平行,其中函数f连续可微,a,b,c不同时为0. 八、（10分）计算I???0ln(1?2acosx?a)dx,a为实数. (电子科技大学2004年)
2九、（10分）计算I???[a1a2x?(a1b2?a2b1)xy?b1b2y]dxdyD22,其中D为
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22(a1x?b1y?c1)?(a2x?b2y?c2)?h,a1,a2;b1,b2;c1,c2为常数,a1b2?a2b1,常数
h?0.
十、（10分）设流速v?xi?yj?zk,求下列情形的流量.
⑴穿过圆锥形x2?y2?z2(0?z?h)的侧表面,法向量朝外; ⑵穿过上述圆锥面的底面,法向量朝外. 以下题目应届生做第十一、十二题,往届生任选两题。
十一、（11分）设fn(x)?n?xe?nx,其中?是参数,求?的取值范围,使得函数序列?fn(x)?在
[0,1]上:
⑴一致收敛; ⑵lim⑶limn??n???10fn(x)dx?fn(x)??d10n??limfn(x)dx成立;
ddxdxlimfn(x).
n???x,十二、（11分）设f(x)是周期为2的函数,且在区间[0,2]上定义为f(x)???0,?0?x?1,1?x?2.2,
求f(x)的Fourier展开式,并利用此结果证明:?n?01(2n?1)2??2?8,
?n?01n2??6.
十三、（11分）确定函数I(y)???0ysinxdxx(??x)2?y的连续范围.
十四、（11分）叙述Bolzano—Weierstrass定理(致密性定理)和闭区间[a,b]上连续函数的有界性定理, 并用致密性定理证明有界性定理.
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