线段和差专题

初中数学竞赛专题选讲

线段、角的和差倍分

一、内容提要

证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一. 转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化

1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化

1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半 2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半

3. 直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半 4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍

6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7. 有关比例线段定理 二. 用代数恒等式的证明

1. 由左证到右或由右证到左

2. 左右两边分别化简为同一个第三式 3. 证明左边减去右边的差为零

4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论

二、例题

例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高

求证：DC＝AB＋BD

分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。 ∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。

为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得

∠ABD＝2∠F＝2∠C。

A

A

k ECDBBDFC

例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N

求证：AH＝2MO， BH＝2NO AE证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍） （一）GN连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG HO则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO ∴四边形AGBH是平行四边形，

BDMC∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO

A证明二：（折半法――作出AH，BH的一半） E（二）F分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN

1则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB

2HOGNBDM又∵OM∥AD， C∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等） 同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……

例3. 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点

求证：∠DCE＝2∠BCF

分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。

我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。

辅助线如图，证明（略）自己完成 CDCGD

H H

BAEFG EBFA

例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I， 求证：∠BIC＝90＋

?1∠A 2?证明一：（由左到右）

∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－

1（∠ABC＋∠ACB） 211?＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A

22A1?＝90＋∠A

2?证明二：（左边－右边＝0） F E

I1? ∠BIC－（90＋∠A）

211?（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A 221?＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……

2＝180－

?B12C 证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）

∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180 ∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）

??11?∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB） 22111???90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A

222三、练习

1. △ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD 2. △ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM 3. △ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E 4. △ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，

则CE＝2CD

5. 已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线

求证：BC＝AB＋AD

6. 已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线

求证 ：∠DAE＝

1（∠B＋∠C） 27. 已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，

求证：∠CBD＝

1（∠ABD－∠D） 2

8. 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F

求证：BF＝4EF

9. 已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交

CD于F

求证：AE＝BE＋DF

10. 在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于

N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC＝2NE （1987年泉州市双基赛题）

11. 以Rt△ABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，

，，，，

分别过E，G作斜边AB所在直线的垂线段EE，GG则AB＝EE＋GG 12. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线EF⊥BC于F，

GE⊥CE交CB延长线于G，

求证：FD＝

1CG （提示：以CE为轴作△CEG的对称三角形） 4?13. 已知：△ABC中，∠A＝100，AB＝AC，BD是角平分线

求证：BC＝BD＋AD

14. 已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F，O

是对角线的交点 求证：CE＝2FO

15. 已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE＝2AD

求证：∠ADE＝2∠BDE

16. 已知：△ABC中，AB＜AC＜BC，点D在BC上，点E在BA的延长

线上，且BD＝BE＝AC，△BDE的外接圆和△ABC的外接圆交于点F 求证：BF＝AF＋FC （1991年全国初中数学联赛题） （提示：在BF上取BG＝CF） E（15） （16） FAAC

G

CE

BD DB

练习题参考答案

1. 2. 3. 4. 5.

以AD轴作轴对称三角形

取AB中点N，再证明DN＝DM

利用外角性质，分别用两角差表示∠A和∠E 有多种证明方法，注意三角形中位线性质

在BC上取BE＝BD，则△EDC等腰，作DF∥BC交AB于F，可证△ECD≌△ADF

6. ∠B＋（∠BAE－∠DAE）＝90， ∠C＋（∠EAC＋∠DAE）＝90 7. ∠ABC＝ ∠ACB＝∠D＋∠CBD，两边同加上∠CBD 10 .作高AH

12 延长GE交AC于M，则E是GM的中点，作EP∥BC交AC于P，则EP被AD平分

16. 在BF上截取BG＝FC，△BGE≌△CFA，再证GE＝GF

5、在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC＝2NE

FA

M

CBDN

2、.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD

E

A

BD

3、已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线

A求证：BC＝AB＋AD

CDBC

1． 如图已知：AD∥BC，∠1=∠2，E为DC中点，试说明：AD+BC=AB A1 2

32．（09佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

BCDE

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