2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.3空间向量与空间角》

课时提升作业 (二十七)

空间向量与空间角

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题3分,共18分) 1.在矩形ABCD中,AB=1,BC=是( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,

,0),

=(1,

,-1),平面ABCD的一个

,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角

法向量为n=(0,0,1), 所以cos<

,n>=

=-,所以<

,n>=120°,

所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°, 所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.

2.(2014·重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )

A.45° B.30° C.90° D.60°

【解析】选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1), 所以

=(-1,1,0),

,

=(1,0,1).

所以cos<所以<

,

>=-.

>=120°.

所以AC与BF所成的角为60°.

3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( ) A. B. C. D. 【解析】选C.所以又|

·|=|

=(|=|,

>==(·

++

),·

=(+

+·

), +

·

)=-|

|2.

|,

=-.

所以cos<

所以∠EOF=.

4.在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为( ) A.- B. C. D.-

【解析】选C.过A,B分别作x轴垂线,垂足分别为A′,B′.则AA′=3,BB′=3, A′B′=4,OA=OB=所以AB=由得|

=

+

+|2+|

,折后∠AOB=90°, =, |2+|

|2+2|

|·|

|·cos(π-θ).所以26=9+16+9+2

.

|2=|

〓3〓3〓cos(π-θ),所以cosθ=.

5.(2014·天津高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( ) A.- B.

C.- D.

【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1). 所以

=(-2,-2,0),

=(0,0,2),

=(-2,0,1).

设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z). 因为n⊥所以

,n⊥

, 所以

令y=1,则n=(-1,1,0). 所以cos

>=

=

,

设直线BE与平面B1BD所成角为θ, 则sinθ=|cos

>|=

.

6.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.

【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0), F(a,0,0),

=(a,a,0),

=(0,2a,2a),

=(a,-a,0),

=(0,0,2a),

设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1), 由

?

?

?n1=(1,-1,1).

sinθ===.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(2014·唐山高二检测)平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为 . 【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ, 则cosθ=〒|cos|=〒|所以θ=或. 答案:或

8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 .

【解析】设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0), E(1,0,2),F(1,1,2), 则

=(-1,0,2), =(1,-1,2), 所以|·

|=

,|

|=

.

|=〒.

=-1+0+4=3.

又=

·cos<

=|,

|||cos<,,

> >=

,

>,所以cos<

.

所以所求角的余弦值为答案:

【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为 .

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0), E=所以cos<

,,

=(a,a,-a), , >=

=

.

.

即直线A′C与DE所成角的余弦值为答案:

9.(2014·福州高二检测)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 .

【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), DE

,F

,

,

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