九年级数学一元二次方程知识点及练习

知识点总结：一元二次方程

知识框架

一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0（a≠0）后，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，

22

x?a是b的平方根，当b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程

没有实数根。 （2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式

a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全

2

平方式；变形为(x+p)=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

知识点、概念总结

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方

2

程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

2

（4）将方程化为一般形式：ax+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，

2

?都能化成如下形式ax+bx+c=0（a≠0）。

1

?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)

2a（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式

2根的判别式：一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二次方

2程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b?4ac

知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题：

1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，

并说明理由.

(2)5x2?10x?2.2?0 (3)2x2?15?0

y(1)2x2-x-3=0. (2)-y2=0. (3) t2=0.

4(4)x2?3x?0 (5)(x?2)2?3

1(4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0. (6) 2-3=0.

x22、关于x的方程3x?2x?6?0中a是 ；b是 ；c(7)x2?3x =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. 是 。

(9)3x2-

4x+6=0. (10)3x2=-3. x41、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 （ ）

（A）2 （B）－2 （C）0 （D）不等于2 2、已知关于x的方程?m?1?x?n?3x?p?0，当 时，方程为一次方程；

22知识点三.一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。 例题：

1、已知方程3x?9x?m?0的一个根是1，则m的值是 。 2、设a是一元二次方程x?5x?0的较大根，b是x?3x?2?0较小根， 那么a?b的值是 （ ） （A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 3、已知关于x的一元二次方程x?kx?2?0 的一个解与方程（1） 求k的值；

（2） 求方程x?kx?2?0的另一个解。

知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：

（1） 直接开平方法：如果x?k?k?0?，则x??k 222222??当 时，两根中有一个为零a。 3、已知关于x的方程?m?2?xm2?2?x?m?0：

（1） m为何值时方程为一元一次方程； （2） m为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：ax?bx?c?0?a?0?，其中ax是二次项，a叫二

22x?1?3的解相同。 x?1次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。 特别警示：（1）“a?0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 例题：

1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

2

（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半

的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；

（3） 公式法：一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的求根公式是

?b?b2?4ac2b?4ac?0?； x??2a（4） 因式分解法：如果?x?a??x?b??0则x1?a,x2?b。

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最

知识点五.一元二次方程根的判别式

2对于一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根的判别式是b?4ac：

2（1） 当b?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根；

2（2） 当b?4ac?0时，方程有两个相等的实数根；

高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题：解方程：

1、方程x2?2x?0的解是： （ ） A.x1?x2?1 B.x1??1,x2?3 C.x1?2,x2?0 D.x1??2,x2?0 2、方程

?5?1?x2??1?5?x的较简便的解法应选用 。

解为 3、解下列方程：

（1）x2?3?3?x?1? （2）2x2?x?3?0 （3）x2?2x?3?0

（4）?2?3?y2??2?3?y （5）

13?x?1?2?12?x?1?

（6）(x?3)2??2x?5?2 (7)3?y2?6???y?2?2??y?2?2

（3） 当b2?4ac?0时，方程无实数根。

温馨提示：若方程有实数根，则有b2?4ac?0。 例题：

1、已知方程x2?3x?k?0有两个不相等的实数根，则k= 。 2、当m满足何条件时，方程mx2?2?m?1?x?9m?1?0有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？

3、关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0无实根，试解关于x的方程

?m?5?x2?2?m?2?x?m?0。

4、已知关于x的一元二次方程x2?4?m?1?x?2m?1?0，求证：不论m为任何

实数，方程总有两个不相等的实数根。

3

知识点六.一元二次方程根与系数的关系

若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两个实数根为x1,x2，则

【考题1】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）

A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪ 【考题2】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，bcx1?x2??,xx1?2。

aa温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

例题：

1、关于x的一元二次方程x2?kx?4k2?3?0的两个实数根分别是x1,x2，且满足

x1?x2?x1x2，则k的值为： （ ）

（A）?1或34 （B）?1 （C）34 （D）不存在

2、已知?,?是关于x的一元二次方程x2??2m?3?x?m2?0的两个不相等的实数

根，且满足

1??1???1，则m的值是 （ ）

（A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或1 3、方程x2?3x?6?0与方程x2?6x?3?0的所有根的乘积是 4、两个不相等的实数m,n满足m2?6m?4,n2?6n?4，则mn的值为 。

5、设x21,x2是关于x的一元二次方程x?px?q?0的两个根，x1?1,x2?1是关于

x的一元二次方程x2?qx?p?0的两个根，则p,q的值分别等于多少？

知识点七.一元二次方程的实际应用

列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。

在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

4

每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，

△PBQ的面积等于4？

2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？

【考题（（

一元二次方程综合复习

1、下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ ） A.3?x?1??2?x?1? B.

2

2

11、填上适当的数，使等式成立：x?5x? ＝(x－ )2． 12、当x= 时，代数式x?3x比代数式2x?x?1的值大2 ． 13、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。 14.解下列方程：

2?25?0直接开平方法 2. x2?4x?5?0（配方法） 1. （x?2）222211??2?0 C.ax2?bx?c?0 D.x2?2x?x2?1 2xx2、方程（m－1）x＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是?（ ）（A）m≠1 （B）m≠0 （C）|m|≠1 （D）m＝±1

3、若x?1是一元二次方程ax?bx?2?0的一个根，则a?b? 。

24、实数

b?b?4ac是方程 的根 （ ）

2a222（A）ax?bx?c?0 （B）ax?bx?c?0

22（C）ax?bx?c?0 （D）ax?bx?c?0

25、方程x?25?0的解是： （ ）

A.x1?x2?5 B.x1?x2?25 C.x1?5,x2??5 D.x1?25,x2??25

26、关于x的一元二次方程kx?2x?1?0两个不相等的实数根，则k的取值 范围是 （ ）

（A）k??1 （B）k??1 （C）k?0 （D）k??1且k?0 7、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）

2A）x?3x?1?0 B）4x?1??1 C）x?2x?3?0 D）

3 x2 -5x+6=0 （因式分解法） 4. 2x2?7x?3?0（公式法）

21.已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于

2x1? x?1x?18、关于

x的一元二次方程2x2?2x?3m?1?0有两个实数根x1,x2，且

x1x2?x1?x2?4，则m的取值范围是 （ ）

（A）m??x的一元二次方程

时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 9.若（x+y）（1－x－y）+6=0，则x+y的值是（ ） A．2 B．3 C．－2或3 D．2或－3

m(m?2)?110、若（m+1）x+2mx－1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是__ _．

5

51551 （B）m? （C）m?? （D）??m? 33322x2??2k?3?x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长为5，问：k取何值

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