专题——三角函数及解斜三角形

专题——三角函数及解斜三角形

一 任意角的三角函数

1角?和?终边相同：????k?360?k?Z

2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：

角的终边所在角的集合 位置 X轴正半轴 Y轴正半轴 X轴负半轴 Y轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴

3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角

??|??k?360?,k?Z? k?Z? k?Z? k?Z? ??|??k?360??90?,??|??k?360??180?,??|??k?360??270?,??|??k?180?,k?Z? ??|??k?180??90?,??|??k?90?,k?Z? k?Z? 角度制与弧度制的互化：180???

1???180 1弧度?180???57.3?

4弧长公式：l?|?|r （?是圆心角的弧度数）

5 扇形面积公式：S?lr?|?|r2

12126 三角函数的定义:以角?的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建

立直角坐标系，在角?的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么

sin??yxy； cos??； tan??； rrx（cot??； sec??； csc??） xyrxry7 三角函数的符号：

由三角函数的定义，以及各象限内

? Ⅰ + + + + yxⅡ + － － － Ⅲ － － + + Ⅳ － + － － 点的坐标的符号，我们可以得知：sin? ①正弦值对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限

x为负（y?0,r?0）；②余弦值对

ryrcos? tan? cot? 于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）；③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 8特殊角的三角函数值：

? 0 0 1 0 ? 61 2? 42 22 2? 33 21 2? 2? 3? 2sin? cos? tan? 1 0 ∞ 0 ?1 ?1 3 23 30 ∞ 1 3 0 cot? ∞ 3 1 3 30 ∞ 0 9三角函数的定义域、值域：

函 数 y?sin? y?cos?定 义 域 R R {?|??值 域 [?1,1] [?1,1] y?tan? ?2?k?,k?Z} R 10诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(??2k?)?sin?，cos(??2k?)?cos?，其中k?Z 诱导公式二： sin(180???)??sin?； cos(1?8?0??)?cos? 诱导公式三： sin(??)??sin?； cos(??)?cos? 诱导公式四：sin(180???)?sin?； cos(180???)??cos?

诱导公式五：sin(360???)??sin?； cos(360???)?cos?

sin cos －? －sin? cos? ??? ??? 2??? 2k????k?Z? ?2?? sin? －sin? －sin? －cos? －cos? cos? sin? cos? cos? sin? （1）要化的角的形式为k?180???（k为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。

同角三角函数的基本关系

1倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1 2商数关系：sin?cos??tan?，cot?? cos?sin?3平方关系：sin2??cos2??1，1?tan2??sec2?，1?cot2??csc2?

二 三角恒等变换 1和、差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?； cos(???)?cos?cos??sin?sin?；

tan(???)?tan??tan? 1?tan?tan?2二倍角公式

sin2??2sin?cos?；

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?； tan2??2tan? 1?tan2?3降幂公式

sin?cos??11?cos2?1?cos2?sin2?；sin2??；cos2?? 2224半角公式

sin?2??1?cos?2；

cos?2??1?cos?2；

tan?2??1?cos?sin?1?cos? ??1?cos?1?cos?sin?5万能公式

2tansin??1?tan?2?2；cos??21?tan21?tan?2；tan??22tan1?tan?2?2?2 26积化和差公式

11sin?cos??[sin(???)?sin(???)]；cos?sin??[sin(???)?sin(???)]；

2211cos?cos??[cos(???)?cos(???)]；sin?sin???[cos(???)?cos(???)]

227和差化积公式

sin??sin??2sin???2222????????????cos??cos??2coscossin；cos??cos???2sin 2222cos???；sin??sin??2cos???sin???；

8三倍角公式：

sin3?=3sin??4sin3? cos3?=4cos3??3cos? 9辅助角公式：asinx?bcosx?a2?b2?sin?x???

其中sin??ba?b22，cos??aa?b22

三 三角函数的图像与性质

1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x

y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x

yyy=tanxy=cotx-3?2-?-?2o?2?3?2x-?-?2o?2?3?22?x

2三角函数的单调区间：

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