《材料力学》附录I 截面的几何性质 习题解

（组合图形对形心轴x的惯性矩）

习题I-14 b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc 矩形 圆 4 2 4 -8.00 50.27 42.27 1 0 -8 0 -8 2.667 ai Ix(a4) 1.1893 14.0 201.062 -0.1893 202.9 188.9 -0.1893

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为d?100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15 图形 半圆 全图 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixci 133333333 685977 ai Ix 2 133546801 24 2860346 130686455 正方形 200 200 40000 100 4000000 50 -3927 79 -309365 36073 3690635 102 4r yc?100?3?Ixc???r488r4 ?9?Ix?Ixc?a2A 形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：Ix?130686455mm4。对竖直形心轴的惯性矩：

a4??r420043.14159?504Iy?????130878966(mm4)

128128

11

习题I-15 图形 正方形 半圆 全图 a 200 r 50 Iy（mm） 133333333.3 2454367 130878966 4a4??r4Iy?? 128[习题I-16] 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩Ix和

Iy相等，则两槽钢的间距a应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴

；横截面积为

。

根据惯性矩定义

和平行轴定理，组合截面对 ，

、

的惯性矩是

，

的距离是

；槽钢背到其形心轴

轴的惯性矩分别是

若

；

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

12

于是 所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积Ixy

解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为xc0yc，则

由平行移轴公式得：

hb1Ixy?IxCyC?abA?0?()?()?bh?b2h2

224故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： Ixy?习题I-17 图形 左矩形 下矩形: 重复加的矩形 全图 b 10 100 10 h 100 10 10 Ixy 250000 250000 2500 497500 122bh 4 上图+下图-重复图=

[习题I-18] 图示截面由两个125mm?125mm?10mm的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩Imax和最小惯性矩Imax。 解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为xc轴正向；过C点，垂直于xc轴的直线为yc轴向上为正。把xccyc坐标绕C点逆时针转45 后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形

13

0心主惯性轴x0,y0。主惯性矩Ix0?Imax，Iy0?Imin 查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：

'4'4A?24.373cm2 ，Iy0?Ix，，z0?3.45cm ?149.46cmI?I?573.89cmxy000角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

a?2z0?2?1?2(3.45?0.5)?3.952cm 2Imax?Ix0?2?[149.46?(3.952)2?24.373]?1820(cm4) Imin?Iy0?2?573.89?1148(cm4)

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积Ix1y1和惯性矩Ix1，Iy1并作出比较。

a4解：Ix?

12a4Iy?

12Ixy?0 （x,y为形心主惯性轴）

a4a4?Ix?IyIx?Iya41212??cos2??Ixysin2???0?0?

22212a4a4?Ix?IyIx?Iya41212??cos2??Ixysin2???0?0?

22212Ix1Iy1 14

Ix1y1?Ix?Iy2sin2??Ixycos2??0?0?0

结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零； 2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

14004021Ix?[?200?403?(?)?200?40]?2??20?(400?2?40)3?575146666.5(mm4)12221212002021Iy?[?40?2003?(?)?200?40]?2??320?203?183146666.6(mm4)1222124004020020Ixy?[?(?)?(?)?200?40]?2??259200000(mm4)

2222tan2?0??2IxyIx?Iy?(?2)?(?259200000)?1.3164

575146666.5?181346666.62?0?arctan1.3164?52047'

?0?26024'

Ix 575146666.5 575146666.5 Iy 183146666.6 183146666.6 Ixy -259200000 -259200000 Ix0= Iy0= 704109187 54184146 Ix0Iy0

?Ix?Iy2?12 (Ix?Iy)2?4Ixy215

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

（a）

解：Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000(mm3) （b）

解：Sx?A?yc?(20?65)?（c）

解：Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000(mm3) （d）

解：Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000(mm3)

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

65?42250(mm3) 2

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的静矩为：

dSx?dA?y?(xd??dx)?y?xd??dx?xsin??x2sin??dxd?

半圆对x轴的静矩为：

1

Sx??r0x3rr32r3?xdx?sin??d??[]0?[?cos?]0??[?(cos??cos0)]?

03332?4r2r31???r2?yc yc?因为Sx?A?yc，所以

3?32[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 123.6 离顶边 46.4 (b) 解： Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c)

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai 2

解：

习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 槽钢20 等边角钢80*10 Ai(cm2) 32.837 15.126 47.963 Yci(cm) 10 2.35 AiYci(cm3) 328.37 35.546 363.92 Yc(cm) 7.6 Xci(cm) -1.95 2.35 AiXci(cm3) -64.03 35.546 -28.49 Xc(cm) -0.6

Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的惯性矩为：

dIx?y2dA?y2(xd??dx)?x2sin2??xd??dx?x3sin2??dxd?

四分之一圆对x轴的惯性矩为： Ix??r0xdx?3?/20x4r?/21?co2s?sin?d??[]0??d?

0422r41?/21?/2??[?d???cos2?d(2?)] 42020r4?1/2{?[sin2?]? ?0} 822 ???r416

由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：

3

Iy?Ix???r416

微分面积对x轴、y轴的惯性积为：

dIxy?xydA

Ixy??xdx?0rr2?x20ydx??r0121r2x2x4r1r4r4r42x(r?x)dx?[?]0?(?)? 22242248[习题I-5] 图示直径为d?200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

??20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。

解：圆的方程为：

x2?y2?r2

如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dA?2r2?y2dy

切去2?之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：

rsin?Ix???rsin?2y2r2?y2dy

rsin??yr4y?2222?2?(2y?r)r?y?arcsin?

8r??rsin??8r41?(??sin4?) 24r4?(4??sin4?) 8x1?(100?20)2?1002

x1?360 022 4

x1?60(mm)

100?204? 60340 ??arctan?53.13?0.927(rad)

3 tan??1004Ix?(4?0.927?sin212.520)?3.963?107(mm4)

8[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。

Iz??ydA??A202?a2dz?2a22?z?a2z?ydy??2a222a20dz?2a2?z?2a2z?2a2y2dy

?2?[?02?a2dz?z?z?2a20ydy??2a220dz??z?0y2dy]

20??[?2y33?2a??02a2dz??0?y?3?z?02a2dz]

2a20232232??[?2(z?a)d(z?a)??2(?z?a)d(?z?a)]

?a03222222a2?24?(z?a)?2?2????3?4??????02a2?24?(?z?a)?2?2???3?4?????0

2?a4a4?=? ???3?1616??a4? 12

5

a4故正方形对其的对角线的惯性矩为：Iz?。

12[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。

(a) 解：Ix?(b)

111504?D4(1??2)??3.14?1754[1?()]?21177368(mm4) 646417511?150?2103??90?1503?90449999(mm4) 1212Ix?[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 轴

的惯性矩

，利用平行轴定理，可求得截面对形心

所以

再次应用平行轴定理，得

6

[习题I-9] 试求图示 平行，相距1 m。

的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 的惯性矩

，用平行轴定理得截面对形心轴

再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等

边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

7

上面一个圆的圆心到 轴的距离是23d。

6 利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 Iz?3.4?10?(7。

1?120?103?1152?120?10)?2?65760000(mm4) 12，其形心距外边缘的距离是28.4

（b）等边角钢 的截面积是

mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

习题I-11（b）图 图形 中间矩形 上矩形 下矩形 左上L形 右上L形 左下L形 右下L形 b 10 250 250 h 600 10 10 Ixc 180000000 20833 20833 1795100 1795100 1795100 1795100 a 0 305 305 271.6 271.6 271.6 271.6 A 6000 2500 2500 1926 1926 1926 1926 Ix 180000000 232583333 232583333 143869495 143869495 143869495 143869495 1220644645 Ix?Ixc?a2A 8

[习题I-12] 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩

计算如下：

[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。

习题I-13(a) 图形 上矩形 下矩形 全图 bi 1000 300 hi 100 600 Ai 100000 180000 280000 Yci 650 300 AiYci 65000000 54000000 Yc ai 225 125 Ixc 83333333 Ix(mm) 5145833333 4 5400000000 8212500000 13358333333 119000000 425 习题I-13( b) 图形 上图(3) 中图(2) 下图(1) 全图 bi 25 200 100 hi 150 150 50 Ai 3750 30000 5000 38750 Yci 275 125 25 AiYci 1031250 3750000 125000 4906250 Yc ai Ixc Ix(mm) 89601489 4148 7031250 2 56250000 56328044 52667577 198597110 102 1041667 127 9

习题I-13(c) 图形 矩形 半圆 全图 半圆：bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm) 42140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 790 -980333 335 -328692667 42750202791 399 198820222116 1480667 1086382333 734 半圆：Ixc 134393476159 yc?4r/3? ??r4/8?8r4/9?

习题I-13(d) 图形 220 180 16 14 674 14 9 3520 2520 10784 3080 4005 8 23 367 711 722.5 28160 57960 3957728 2189880 2893613 9127341 374 75093 359 41160 0 492438613 324821280 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4) 从下往上

16 220 445 408242699 408242699 333432587 464367735 2023302914 329 50307 341 27034 382 23909 [习题I-14] 在直径D?8a圆截面中，开了一个2a?4a的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩Ix和Iy。 解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y轴向下为正）

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

10

(b)

解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：

习题I-20(b) 长度单位:cm 图形 I II 全图 图形 I II 全43.1 Ai 32.8 10.2 43.1 Xci 1.95 -1.4 Yci 10 16 AiXci 64 -15 49.4 AiYci 328.3 163.8 492.1 Xc 1.15 Yc 11.4 习题I-20（b） Ai ai bi Ixci' Iyci' Ixci Iyci 165 Ixciyci' Ixciyci tan2a0 0 0 0 -37.635 -120.66 -158.29 0.1547 a0 Ix0 Iy0 32.8 -1.43 0.804 1913.7 143.6 1981 10.2 4.573 -2.58 101.3 16.6 315.5 84.6 2296 249 4.4 2308.2 237.2 图 [习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的Ix，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径r?100mm。

解：圆的方程为：

x2?y2?1002

把y轴的半径10等分，即??10mm。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。

16

习题I-21 yi 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 10xi 99.87 98.87 96.82 93.67 89.30 83.52 75.99 66.14 52.68 31.22 ai 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ? 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ai2?xi 24969 222454 605154 1147518 1808383 2526373 3210722 3720588 3806005 2818055 19890221 近似解Ix??ai2?xi i?13.14159?1004精确解Ix? ?1616误差(%) ??r419634938 1.30

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为Ixya4?（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对72相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

17

解: z?h(b?y) bbA0222?zzdz?ydy?bh(b?y)2ydy?bh

?02b2????0?24

Iyz??yzdA??IyCzCbhb2h2bhbhb2h2?Iyz?()()A??????

332433272令b?h?a得:|Ia4yCzC|?72.

18

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