2012年高考数学第二轮热点专题测试：极限导数和复数(含详解)

高三复习二轮复习

2012年高考数学第二轮执点专题测试：极限导数和复数（含详解）

一、选择题：

1?i20081、复数?i对应的点位于复平面的（ ）

1?i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2、已知0＜a＜2，复数z?a?i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是（ ） A.(1,3) B. (1,5) C.(1,3) D.(1,5) 3、设z的共轭复数是z，若z?z?4，z?z?8，则A．i 4、lim

B．?i

C．?1

D．?i

z等于（ ） z1?3?5???(2n?1)等于( )

n??n(2n?1)11 A. B. C.1 D.2

425、已知z1＝1－i，z2＝2＋2i，z3＝－3＋2i，若在复平面上z1，z2，z3对应点分别为A、B、C，则△ABC是（ ）

（A）等腰三角形 （B）等边三角形 （C）等腰直角三角形 （D）钝角三角形 6、圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为（ ）.

A.x?3y?2?0 B.x?3y?4?0 C.x?3y?4?0 D.x?3y?2?0 7、函数y?x4?4x?5在区间??2,3?上的最小值为（ ）

A．74 B．37 C．2 D．0

8、数列{an}满足:a1?n??1,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则 3lim(a1?a2???an)? ( )

123 B. C. D.2 2329、曲线f(x)=x3+x-3在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）

A.

A．(1,0) B．(2,8)

C．(1,?1)和(?1,?5) D．(2,8)和(?1,?4) 10、已知lim(1?a)n?1?2，则a?（ ）．

n→?n?a1，则a? 2（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

11、设a?1，函数f(x)?logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

A．2 B．2 C．22 D．4 12、已知复数z = 2＋ai(a?R)，则|z＋1－i|＋|z－1＋i|的最小值是（ ） （A）5 （B）25 （C）3 （C）23

- 1 -

二、填空题

13、已知复数z满足（1＋2i）z＝5(i为虚数单位)，则z＝________． 14、如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C y 的坐标分别为(0，，，，，4)(20)(64)，则f(f(0))? ； 函数f(x)在x?1处的导数f?(1)? ． 15、求值：lim(x?2B O 1 2 3 4 5 6 x 116、设直线y?x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值是 41?)= . 2x?4x?24 3 2 1 A C 2三、解答题

http://www.mathedu.cn 中国数学教育网 中 国 数 学 教 育 网 欢 迎 您！ 17、已知函数f(x)?x3?ax2?3bx?c(b?0)，且g(x)?f(x)?2是奇函数． （Ⅰ）求a，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．

18、设x=1和x=2是函数f(x)?x5?ax3?bx?1的两个极值点. (Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间.

19、已知复数w满足w?4?(3?2w)i(i为虚数单位），z?二次方程.

20、设函数f(x)?ax?b，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

x7x?4y?12?0。（1）求y?f(x)的解析式；（2）证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0和直线y?x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

?x21、已知函数f(x)?e(cosx?sinx),将满足f?(x)?0的所有正数x从小到大排成数列{xn}. （Ⅰ）证明数列{f{xn}}为等比数列；

（Ⅱ）记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求lim

22、请先阅读：在等式cos2x?2cosx?1（x?R）的两边求导，得：

- 2 -

25?|w?2|，求一个以z为根的实系数一元wS1?S2???Sn.

n??n

(cos2x)??(2cos2x?1)??? ，

sinx． 由求导法则，得(?sin2x)?，化简得等式：sin2x?2cosx?2?4cosx?(?sinx)??122nnx?R，正整（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝C0n?Cnx?Cnx???Cnx（

数n≥2），证明：n[(1?x)n?1k?1． ?1]＝?kCknxk?1n（2）对于正整数n≥3，求证： （i）

?(?1)k?1nk?1nkkCkn＝0； k2Ckn＝0；

（ii）

?(?1)nk1k2n?1?1（iii）?． Cn?k?1n?1k?1

参考答案（详解）

一、选择题 1 2 A B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 C 10 A 11 D 12 C 1、A 1?i2008解：?i＝1＋i，所以，在第一象限。

1?i2、B 解：z?3、D

a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5,选B.

2zz2?2?2i?2解：可设z?2?bi，由z?z?8得4?b?8,b??2.????i.选D.

z884、B

1?3?5???(2n?1)n21解： lim?lim2?.

n??n??2n?nn(2n?1)25、A

解：依复数的几何意义，可得A（1，－1），B（2，2），C（－3，2），

2222因为｜CA｜＝(1?3)?(?1?2)＝5，｜CB｜＝(2?3)?(2?2)＝5，

即CA＝CB，所以，△ABC是等腰三角形。 6、D

解：∵12＋（3）2－４×１＝０，∴点Ｐ在圆上，点Ｐ就是所求切线的切点， 已知圆方程化为：（x－２）2＋y2＝４，圆心坐标Ｏ为（２，０），半径为２， kOP＝

∴所求切线的斜率为：－

3?0＝－3，∵过点Ｐ的切线与过点Ｐ的半径垂直， 1?211?3＝

3，∴所求切线方程为：y－3＝

13（x－１），

化简，得：x－3y＋２＝０，故选（D）。

7．C

- 3 -

解：y'?4x3?4,令y'?0,4x3?4?0,x?1,当x?1时,y'?0;当x?1时,y'?0 得y极小值?y|x?1?2,而端点的函数值y|x??2?29,y|x?3?74，得ymin?2 8、A

解：数列{an}满足: a1?11, 且对任意正整数m,n都有am?n?am?ana2?a1?1?a1?a1?，39111a11an?1?an?a1?an，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列。lim(a1?a2???an)??，

n???3331?q2选A.

9．C

'2解：设切点为P,k?f'(a)?3a2?1?4,a??1， 0(a,b)，f(x)?3x?1把a??1，代入到f(x)=x3+x-3得b??5；把a?1，代入到f(x)=x3+x-3得b??1，所以

P0(1,?1)和(?1,?5)

10、A 解：lim(1?a)n?1?limn→?n→?n?a(1?a)?1?an1n?1?a?2?a?1

11、D

解：设a?1，函数f(x)?logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a,logaa?1，它们的差为

11，∴ loga2?，a?4，选D。 2212、C

解：∵|z＋1－i|＋|z－1＋i| = |z－(－1＋i)|＋(1－i)|，

设z1=－1＋i，z2=1－i在复平面上对应的点分别A(－1，1)，B(1，－1)．

z = 2＋ai在直线l：x = 2上，B点关于直线l的对为C(3，－1)，连AC，交l于D，则|z＋1－i|＋|z

y l |z－

A · · －1 1 · O 为

1 · · 1 B · －· 2 · D x ·C 称点－1＋

i|的最小值为：|BD|＋|AD| = |AC| =25．

二、填空题

13、1?2i 解：z＝

55(1?2i)＝＝1?2i 1?2i(1?2i)(1?2i)14、2 -2

解：f(f(0))?f(4)?2;f?(1)?kAB??2. 15、－

1 4x?2解：原式=lim(16、ln2－1

4x?22?x11?)?lim?lim(?)??. 222x?2x?2x?4x?4x?4x?24- 4 -

解：y?'111 ，令?得x?2，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1． xx2三、解答题

17、解：（Ⅰ）因为函数g(x)?f(x)?2为奇函数，

所以，对任意的x?R，g(?x)??g(x)，即f(?x)?2??f(x)?2． 又f(x)?x3?ax2?3bx?c

所以?x?ax?3bx?c?2??x?ax?3bx?c?2．

3232?a??a，

c?2??c?2．?解得a?0，c?2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?x3?3bx?2． 所以f?(x)?3x2?3b(b?0)．

当b?0时，由f?(x)?0得x???b． x变化时，f?(x)的变化情况如下表：

所以?x

f?(x)

(??，??b)

??b 0

(??b，?b)

?

?b

0

（?b，??）? ?

所以，当b?0时，函数f(x)在(??，??b)上单调递增，在(??b，?b)上单调递减，在(?b，??)上

单调递增．

??)上单调递增． 当b?0时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(??，42

18、解：（Ⅰ）f′(x)=5x+3ax+b,由假设知f′(1)=5+3a+ b=0,

f′(2)=24?5+22?3a+b=0.

解得a?25,b?20. 3(Ⅱ)由（Ⅰ）知

f'(x)?5x4?25x2?20?5(x2?1)(x2?4)?5(x?1)(x?2)(x?1)(x?2).

当x?(??,?2)?(?1,1)?(2,??)时，f′(x)>0， 当x?(?2,?1)?(1,2)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调增区间是(??,?2),(?1,1),(2,??),

f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2).

19. 解： ?w(1?2i)?4?3i,?w? ?z?4?3i?2?i， 1?2i5?|?i|?3?i. 2?i 若实系数一元二次方程有虚根z?3?i，则必有共轭虚根z?3?i. ?z?z?6,z?z?10，

? 所求的一个一元二次方程可以是x2?6x?10?0. 20、解：（Ⅰ）方程7x?4y?12?0可化为y?17x?3．当x?2时，y?．

24- 5 -

b1?2a??，??a?1，b3?22又f?(x)?a?2，于是?解得?，故f(x)?x?．

xx?b?3.?a?b?7，??443（Ⅱ）设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y??1?2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

x?3?y?y0??1?2?(x?x0)，

?x0??3??3?即y??x0????1?2?(x?x0)．

x0??x0??令x?0得y???66?，从而得切线与直线x?0的交点坐标为?0，??． x0x0??令y?x得y?x?2x0，从而得切线与直线y?x的交点坐标为(2x0，2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形面积为

16?2x0?6． 2x故曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6

21、（Ⅰ）证明：f?(x)??e?x(cosx?sinx)?e?x(?sinx?cosx)??2e?xsinx.

由f?(x)?0,得?2esinx?0.

解出x?n?,n为整数，从而 xn?n?,n?1,2,3,?

?xf(xn)?(?1)ne?n?. f(xn?1)??e??.

f(xn)

所以数列{f(xn)}是公比q??e??的等比数列，且首项f(x1)?q. （Ⅱ）解：Sn?x1f(x1)?x2f(x2)???xnf(xn)

??q(1?2q???nqn?1), qSn??q(q?2q2???nqn), Sn?qSn??q(1?2q???q2n?1?nqn)

1?qn??q(?nqn),1?q从而Sn??q1?qn1?q1?q(?nqn).

S1?S2???Sn

n- 6 -

22??q(1?q)2??qn(1?q)2(1?q???qn?1)??qn(1?q)(1?2q???nqn?1)

??q?q2(1?q)2?1?qnn(1?q)21?q??q2n(1?q)2(1?qn1?q?nqn)

?q2?q2?qn?2?(1?q)2?n(1?q)3(1?qn)?(1?q)2.因为|q|?e???1.limn??qn?0，所以

limS1?S2???Snn??n??q(1?q)2???e?(e??1)2. 22、证明：（1）在等式(1+x)n=C01?C22nnn?Cnxnx???Cnx两边对x求导得

n(1?x)n?1?C12n?1n?2nn?1n?2Cnx???(n?1)Cnx?nCnx

移项得 n[(1?x)n?1n?1]??kCkxk?1n （*）

k?2（2）（i）在（*）式中，令x??1，整理得 ?n(?1k)?1kCkn? 0k?1 所以

?n(?1)kkCkn?0

k?1（ii）由（1）知n(1?x)n?1?C12???(n?1)Cn?1n?2nn?1n?2Cnxnx?nCnx,n?3 两边对x求导，得n(n?1)(1?x)n?2?2C23nn?2n?3?2Cnx???n(n?1)Cnx

在上式中，令x??1，

0?2C232n?3?2Cn(?1)???n(n?1)C2n(?1)n?

n即

?k(k?1)Ckk?2n(?1)?0，

k?2n亦即

?(?1k)k(2?kC)kn? 0 （1）

k?2n又由（i）知

?(?1k)kCkn? 0 （2） k?1n由（1）+（2）得

?(?1)kk2Ckn?0

k?1（iii）将等式(1+nx01n)?=xnC?x2C??2C?nx两nnn边在C[0?1(1?x)ndx??1122n00(C0Cnn?nx?Cnx???Cnx)dx

n 由微积分基本定理，得1(1?x)n?11n?10?(?1Ckk?11nxk?0k?1)0 nn?1 所以 ?1Ck2?1n?k?0k?1n?1

- 7 -

上1对x积分,

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