高中数学第二章概率2_5随机变量的均值和方差数学期望的计算方法

数学期望的计算方法及其应用

摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT：

第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法

定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为

[1]

X x1 x2 p2 …… …… xn pn P p1 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=

?xp(x)

iii?1nin注意：这里要求级数?xp(x)绝对收敛，若级数?xiii?1i?1np(xi)不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在

?2?

例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解 设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为

X P 10 8 5 -6 0.6 0.2 0.1 0.1 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得

E(X)?10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元

1.2 公式法

对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

0??1（1） 二点分布：X~??p1?p??，则E?X??p

??（2） 二项分布：X~B(n,p)，0?p?1，则E(X)?np

（3） 几何分布：X~G(p),则有E(X)?1 p（4） 泊松分布：X~P(?)，有E(X)?? （5） 超几何分布：

X~h(n,N,M),有E(X)?nM N例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2题不能完成；参赛者乙每题能正确完成的概率都是2,且每题正确完成与否互不影响. 3分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.

解 设参赛者甲正确完成的题数为X,则X服从超几何分布,其中

N?6,M?4,n?3,

∴E(X)?n设参赛者乙正确完成的题数为Y,则

M4?3??2 N622Y~B(3,),E(Y)?np?3??2

331.3 性质法

利用数学期望的性质求期望，主要性质有：

E(c)?c E(aX)?aE(X) E(aX?b)?aE(X)?b

其中X为随机变量，a,b,c为常数。

例3 某工程队完成某项工程的时间X(单位：月)是一个随机变量，它的分布列为

X P 10 11 12 13 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）试求该工程队完成此项任务的平均月数； （2）社该工程队所获利润为Y?50(13?X),单位为万元。试求工程队的平均利润。 解（1）根据题意，我们可求平均月数为：

E(X)?10?0.4?11?0.3?12?0.2?13?0.1?11月

（2）由（1）知E(X)?11，则可得

E(Y)?E(50(13?X))

?E(650?50X)?650?50E(X)

?650?50?11?1001.5 利用逐项微分法

?3?

这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质导，从而解出数学期望。

例5 设随机变量X~G(p)，求E(X)。

k?1解 因为X~G(p)，故P(X?k)?p(1?p) 其中0?p?1

??pi?1?i?1两边关于参数进行求

k?1,2,?

则

?p(1?p)k?1k?1?1 （1）

对（1）式两边关于p求导得

???1?p??k?1k?1?p(k?1)(1?p)k?2?0

???1?p?k?1??k?1??kp(1?p)k?1??k?2??p?1?p?k?1?k?2?0?111k?1k?1k?1??????p1?p?kp1?p?p1?p?0???pk?11?pk?11?pk?1根据数学期望的定义知：E?X??

?kp?1?p?k?1?k?1且知

?p(1?p)k?1?k?1?1

因此上式可以写成：

111?E?X???0 p1?p1?P1 p从而解得 E?X??1.6 利用条件数学期望公式法

条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量?X,Y?。在?X,Y?为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：E?X??EXY?y?或E?Y??EYX?x????xP?X?xY?y?

iii???yP?Y?yjjjX?x?

例6 设二维离散随机变量?X,Y?的联合分布列为 Y 0 0 1 2 3 4 5 0.09 0.08 0.06 0.05 0.07 0.06 0.05 0.06 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.04 0.05 0.04 0.01 0.02 0.03 0.02 0 0.01 0.01 0.01 1 2 3 X 试求EXY?2和EYX?0

解 要求EXY?2，首先得求PXY?2

?????????P?X?0Y?2??0.011?

0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.0625355同理可得P?X?1Y?2?? P?X?2Y?2?? P?X?3Y?2??

25252556P?X?4Y?2?? P?X?5Y?2??

25255?E?XY?2??xiP?X?xiY?2??0?i?03555678 ?2??3??4??5??252525252525用同样的方法，我们可得EYX?0?2 1.7 利用重期望公式法

重期望是在条件期望的基础之下产生的，EXY?y是y的函数，对y的不同取值，条件期望EXY?y的取值也在变化，因此我们可以把EXY看作一个随机变量。重期望的公式是E?X??EEXY,此公式的前提是E?X?存在。如果是Y一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为E?X???????????????E?XY?y?P?Y?y?

jjj例7 口袋中有编码为1,2,3,?,n的n个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i号球(i?2)，则得i分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试求得到的平均总分数。

解 记X为得到的总分数，Y为第一次取到的球的号码，则

P?Y?1??P?Y?2????P?Y?n??1 n又因为EXY?1?1，而当i?2时，EXY?i?i?E?X? 所以

????E?X???E?XY?i?P?Y?i??i?1n1?1?2???n??n?1?E?X?? n由此解得 E?X??n?n?1? 2第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用

连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数p?x?代替分布列?p?xi??，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。 2.1 定义法

?4?

设连续随机变量X有密度函数p?x?，如果积分

?????， xp?x?dx 有限（收敛）

则称 E?X??若

?????xp?x?dx 为X的数学期望。

?????，则说X的数学期望不存在。 xp?x?dx 无限（不收敛）

例8 设随机变量X服从均匀分布，求它的数学期望。 解 由于X~U?a,b?，则它的密度函数为

?1?p?x???b?a a?x?b

?其他?0则根据定义它的数学期望为

E?X???xp?x?dx??x???a??b1dx b?a1x2?b?a2

a?b?2bab2?a2?2?b?a?

可见，均匀分布的数学期望位于区间?a,b?的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。 例9 密度函数为p?x??1 ???x???的分布称为柯西分布。 2?1?x??其数学期望不存在，这是因为积分 2.2 特殊积分法

??1??x2??1?xdx 无限。

连续型随机变量X的数学期望为E?X???????在计算连续型随机变量X的数xp?x?dx，

学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，

还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。

例10 设随机变量X~N??,??，证明E?X???．

2证 在E?X?的积分表达始终做变换z??x????,dz?可得 E?X??1?dx即dx???dz

?2??1????xe??x???22?2dx

?

12?????z???e??2???z22dz2?zz????1????22?????zedz?????edz?2?????

由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为2?，故得E?X???． 2.3 利用特征函数

特征函数的定义：设X是一个随机变量，称??t??EeitX , ???t???，为X的特征函数，设连续随机变量X有密度函数p?x?，则X的特征函数为 ??t?????????eitxp?x?dx ???t???

根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：

EX???k??k??0?ik求出数学期望，即

2E?X?????0?i．

例11 设随机变量X~N??,??，求E?X?．

??,??，则X的特征函数为

2解 因为随机变量X~N??2t2???t??exp?i?t??

2????2t2?22其一阶导数为???t??exp?i?t???i???t

2????则???0??i?

由特征函数的性质得E?X?????0?i?i??? i注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。 2.4 逐项微分法

这种方法同样适用于密度函数p?x?中含有参数的连续型随机变量分布，也是对

?p?x?dx?1两边对参数求导数来解出数学期望。

????例12 设随机变量服从指数分布即X~Exp???，求E?X?

??e??x， x?0解 因为X~Exp???，则X的密度函数p?x???

x?0?0, 则由

?????p?x?dx?1，E?X???xp?x?dx 得

???????????0?e??xdx?1 E?X???x?e??xdx

??0对

??e??xdx?1两边关于参数?求导得

??x??e??0?x?e??xdx?0??0????0e??xdx??e??x??0xe??xdx?0

?1??E?X??01

从而解得E?X???2.5 条件数学期望公式

在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为 EXY?y????????xp?xy?dx

例13 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

?x?y, 0?x,y?1 p?x,y??? 其他?0, 试在0?y?1时，求EXY?y． 解 由题意知，

??pY?x???24?1?x?ydx?12yy2?2y?1y1???p?xy??p?x,y?1?x?1pY?y?12y?y?221y当0?y?1时， E?XY?y???xp?xy?dx ?1y12y?y?22?x2x3?11? ????121?23??yy?y?22

12?x?x?dx1??1y2y3??????121?623???y?y? 2 22?2y?1??y?1?2y?1??236?y?1?1

2.6 利用重期望公式

在Y是一个连续随机变量时，重期望公式E?X??EEXY????可改写成为

E?X???E?XY?y?pY?y?dy．

????例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力X服从?10,30?单位：104kW上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力Y服从?10,20?单位：104kW上的均匀分布。如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每10kW电可以创造30万元的利润，若工厂得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每10kW获利10万元，失球该厂每个月的平均利润。

解 从题意知，每月供应电力X~U?10,30?,而工厂实际需要电力Y~U?10,20?。若设工厂每月的利润为Z万元，则按题意可得

44???? 当Y?X?30Y, Z??

??30X?10Y?X, 当Y?X?在X?x给定时，Z仅是Y的函数，于是当10?x?20时，Z的条件期望为

E?ZX?x???30ypY?y?dy???10y?20x?pY?y?dyx2010xx2011 ??30ydy ???10y?20x?dy 10x1010 31 ?x2?100?202?x2?2x?20?x?22 ?50?40x?x2当20?x?30时，Z的条件期望为

20201E?ZX?x???30ypY?y?dy??30ydy?450

101010????然后用X的分布对条件期望EZX?x再作一次平均，即得

??E?Z??E?ZX?x???E?ZX?x?pX?x?dx??E?ZX?x?pX?x?dx20301020120130250?40x?xdx?450dx??10202020700 ?25?300??225?4336 ???

所以该厂每月的平均利润为433万元．

第三节 随机变量数学期望的计算技巧

3.1 利用数学期望的性质，化整为零

当一个随机变量的分布列较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决。主要是利用数学期望的性质

?n?nE??Xi???E?Xi?来时问题简单化。 ?i?1?i?1例15 设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求E?X?

解 直接写出X的分布列较为困难，其原因在于：若第i种颜色的球被取到过，则此种颜色的球又可被取到过一次、二次??n次，情况较多，而其对立事件 “第i种颜色的球没被取到过”的概率容易写出为

1????P?第i种颜色的球在次摸球中一次也被摸到过?1?? ?m?为此令

n至少被摸到一次；?1,第i种颜色的球在次摸球中Xi?? i?1,2,?,n

0,第i种颜色的球在次摸球中一次也没被摸到，?这些Xi相当于是计数器，分别记录下第i种颜色的球是否被取到过，而X是取到过的不同

1??颜色总数，所以X??Xi．由P?Xi?0???1??,可得

?m?i?11?? E?Xi??P?Xi?1??1?P?Xi?0??1??1??

?m?n??1??所以 E?X??mE?Xi??m?1??1???

???m???mnn例16

?5? 设X~B?n,p?，求E?X?

n?kkk解 由题意知，P?X?k??Cnp?1?p? , 0?p?1，

方法一：根据数学期望的定义有

kkE?X???k?Cnp?1?p?k?0nkk ??k?Cnp?1?p?k?1nnn?kn?k?np ?Cnk??11pk?1?1?p?k?1n?1i?0n?1n?k

?np??p?1?p? ?np ?i?k?1??1 0方法二：令Xi表示贝努力试验中的出现的次数，则相互独立而且同分布，均服从??p 1-??E?Xi??p,而X??Xii?1n?? p???E?X???E?Xi??npi?1n

3.2 利用二重积分的极坐标变换求解

这种方法只是用于二维连续型随机变量数学期望的求解。 例17 设随机变量X,Y相互独立，且均服从N?0,1?分布，求Z?22X2?Y2的数学期望。

1x2?y2e , -??x,y??? 解 由题意知Z?X?Y的密度函数为p?z??2?2可得 E?X2?Y2????????????1?x2?y2?e2?x2?y22dxdy,

令??x?rcos?, 则可得

y?rsin????2?上式??1erd?dr??re0?002?22??r??????r ?r??e2???e2dr0??0??r???r22?r22dr

?2?2???12???e?r22dr?2?23.3 巧用特殊求和公式

例18 对一批产品进行检验,如果检查到第n件仍未发现不合格品就认为这批产品合格,如在尚未超过第n件时已检查到不合格品即停止继续检查,且认为这批产品为不合格.设产

品数量很大,可以认为每次检查查到不合格品的概率都是p,问平均每批要检查多少件？ 解 设X表示每批所需检验的产品数，那X的分布列是

P?X?k??qk?1p, k?1,2,?,n?1 其中q?1?pP?X?n??qn?1p?qn?qn?1,?E?X???kqk?1n?1k?1p?nq?n?1??n?1k??p??q??nqn?1?k?1?

?q?q?n?1 ?p??1?q???nq??1?nqn?1?1?q??q?qn ?p?nqn?12?1?q?n????1?qn1??1?p? ??ppn注：这里主要用到的求和公式是

6

?qk?k?1n1． 1?q3.4利用分布图象的对称性

当分布列或密度函数具有对称性时，随机变量数学期望的取值集中位置就是对称中心或对称轴，我们可以利用对称性使比较复杂的问题简单化。尤其，当随机变量服从均匀分布时，它

a?b；当随机变量服从正态分布时，我们由它的图象2知x??是它的对称轴，故它的数学期望取值为?．

的数学期望取值为它的对称中心，即

例19 若X1,X2,?Xn正的独立随机变量，服从相同的发布，是证明

?X1?X2???XkE??X?X???X2n?1证明 由分布的对称性知

?k???n ?XnX1同分布，故 ,?,X1?X2???XnX1?X2???Xn??X1?X2???Xn?，而E?? ?X?X???X2n??1????1????XnX1???E????E??X?X???X2n?X1?X2???Xn??1??1Xi故E?其中i?1,2,?,n?X?X???X???n 2n??1?X1?X2???Xk因此 E??X?X???X2n?1?k???n? 例20 设在区间?0,1?上随机地取n个点，以X表示相距最远的两点间的距离，求E?X? 6

解 由题意知，n个点把区间?0,1?分成了n?1段，它们的长度依次记为

X1,X2,?,Xn?1，根据对称性，每个Xi都有相同的概率分布和数学期望，且X1?X2???Xn?1?1，故E?Xi??X2???Xn，所以E?X???1??2??3?1，又因为n个点中相距最远的两点间的距离为n?1n?1 n?1魏宗舒,概率论与数理统计[M].高等教育出版社,2006,96~112.

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?6?

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