经济数学典型案例

14．设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为

2R(Q)?104Q?0.4Q

求：(1)销售量为Q时总收入的边际收入；

(2)销售量Q?50个单位时总收入的边际收入； (3)销售量Q?100个单位时总收入对Q的弹性. 解 (1)R?(Q)?104?0.8Q (2)R?(Q) (3)

EREQQ?50?104?0.8?50?64

Q?Q?100R38?(104?0.8Q)Q?100?Q?100.

15.某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C(单位：元)是日产量x(单位：

吨)的函数

C?C(x)?1000?7x?50x x?[0,1000]

(1)求当日产量为100吨时的边际成本； (1)求当日产量为100吨时的平均单位成本. 解 (1)C?(x)1???7?50?x?100??2x???9.5

x?100 (2) C(x)C(x)x?100?1000?700?500?2200 ?2200100?22

Q5,求：

x?100 16.某商品的价格P关于需求量Q的函数为P?10? (1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；

(2)当Q?20个单位时的总收益、平均收益和边际收益. 解 (1) R(Q)?PQ?10Q?Q2

51 R(Q)?R(Q)Q2?

R?(Q)?11?0Q5

1?0Q5 (2)R (2?0) 1

R(20?)R?(20?)

62 17.某厂每周生产Q(单位：百件)产品的总成本C(单位：千元)是产量的函数

C?C(Q)?100?12Q?Q

2如果每百件产品销售价格为４万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量. 解

L(Q)?R(Q)?(Q)?40Q?(100?12Q?Q2)??Q2?28Q?1000 L?(Q)??2Q?28? 0 可得Q?14

故边际利润为零时的每周产量为14百件.

18.设巧克力糖每周的需求量Q(单位：公斤)是价格P(单位：元)的函数

Q?f(P)?1000(2P?1)2

求当P?10(元)时，巧克力糖的边际需求量，求说明其经济意义. 解 Q?(P)?? Q?(10?)?2?1000?2(2P?1)3??4000(2P?1)3

30.4 其经济意义为：巧克力糖价格由原10元价再增加1元.每周需求量将减少0.432公斤. 19.证明：若f(x),g(x)是可导函数，则： (1)

E[f(x)?g(x)]Ex?Ef(x)Ex?Eg(x)Ex;

(2)当g(x)?0时，

?f(x)?E???g(x)?Ex?Ef(x)Ex?Eg(x)ExEx; ?Ef(u)E?(x)?EuEx (3)若y?f(u),u??(x)都可导，则 证明

E????f?x (1) Exx?y???Ef??(x)?

????f?x??g?x????xf?x??g?x????f??x?g?x??f?x?g??x???xf?x??g?x?

?f??xf?x??g??x??xg?x??Ef?x?Ex?Eg?x?Ex

?f?x??E??gx??? (2) ??Ex?f?x???f??x?g?x??f?x?g??x?xg?x?x ?????2fxg(x)f?x?????g?x???g?x??f??x??Ef[?(x)]??f??Ex?f?(u)?xf?x??g??x??xxg?x??f?Ef?x?Ex?Eg?x?Ex

(3) x?(??)uf(u)?[f?(x)]???(x)?p5u??(?)?x(uf(u)x) f(u)xxu?f?(u)????(x)??u?Ef(u)E?(x)?EuEx

20.设某商品的需求函数为Q?e?,求：

(1)需求弹性函数；

(2)p?3, 5, 6时的需求弹性，并说明其经济意义.

pdQp?1??p 解 (1)?(p)??? ??p????e5??Qdp55??e5p (2)?(3)?0.6?1,说明当p?3时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即p?3时，价格上涨1%，需求减少0.6%. ?(5)说明当?1,p?5时，价格与需求变动的幅度相同. ?(6)?1?.2说明当1p?6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即p?6时，价格上涨1%，需求减少1.2%.

21.设某商品的需求函数为Q?100?5p,其中Q,p分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围. 解 ?(p)??pdQQdp??p100?5p?(?5)?5p100?5p

?(p)?1时 p?10 ?(p)?1时 5p100?5p?1

可得10?p?20.

p2:

22.某商品需求函数为Q?f(p)?12? (1)求需求弹性函数；

(2)求p?6时的需求弹性；

(3)在p?6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？ 解 (1) ?(p)??pdQQdp??p?1??????p?2?24?p12?2p

(2) ?(6)? (3) EREp?13

?1??pdRRdpp?6

23?0.67 故 EREp?1??(6)?

?在p?6时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%.

23.设某商品的供给函数Q?4?5p，求供给弹性函数及p?2时的供给弹性. 解 Ep?dQpp5p??5?dpQ4?5p4?5p

p?2时，Ep?104?10?57

24.设某产品的需求函数为Q?Q(p),收益函数R?pQ,其中p为产品价格.Q(p)为单调减少函数.如果当价格为p0对应产量为Q0时，边际收益益为

dR?dpp?p0dRdpdRdQQ?Q0?a?0,收益对价格的边际收

C?0，需求对价格的弹性为??b?1，求p0与Q0. dRdQdQdp 解 ??

? c=a dQdpp?p0 dQ?dpca

p?p0 又??? ?

dRdpcap0dQQ0dpQ0p0b p?p0 故

dQdpp?p0??Q0p0b

??①

dQdp?d(pQ)?Q?pdpdQ0p?p0

Q0?pdp?Q0?pca0?c ②

ab?p?0??b?1由①②可得 ??Q?c0?1?b?

25.某企业生产一种商品，年需求量是价格P的线性函数Q?a?bp,其中a,b?0,试求： (1)需求弹性；

(2)需求弹性等于1时的价格. 解 (1) ?(p)?? (2)?(p)?1时

bppdQQdp??pa?bp?(?b)?bpa?bp

a?bp

?1 可得

p?a2b.

26.设某产品的成本函数和收入函数分别为C(x)?100?5x?2x2,R(x)?200x?x2,其中x表示产品的产量，求：

(1)边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数；

(2)已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润？ 解 (1) C?(x)?5?4x

R?(x)?200?2x L?(x)?R?(x)?C?(x)?195?2x

(2)L??25??145

27.某商品的需求量Q为价格P的函数

Q?150?2P

2求：(1)当P?6时的边际需求，并说明其经济意义； (2)当P?6时的需求弹性，并说明其经济意义；

(3)当P?6时，若价格下降2%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？ 解 (1) Q?(P)??4P Q?(6)??2 4 说明当价格为6时，再提高(下降)一个单位价格，需求将减少(增加)24个单位商品量. (2)?(P)??PdQQdP?4P22150?2P

?(6)?1. 85 说明价格上升(下降)1%，则需求减少(增加)1.85%. (3)R(P)?150?2P3

ERPdR?P150?6P2 ?????(150?6P)??32EPRdP150P?2P150?2P2∴若价格下降2%，总收益增加(0.846?2)%，即1.692%.

EREPP?6?0.846

28.求下列经济应用问题中的最大值或最小值：

(1) 假设某种商品的需求量Q是单价P的函数Q?12000?80P，商品的总成本C是需求量Q的函数C?25000?50Q，每单位商品需纳税2.试求使销售利润最大的商品价格和最大利润；

(2) 设价格函数P?15e?x3(x为产量)求最大收益时的产量、价格和收益；

(3) 某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？

(4) 设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R(x)?100x?x2，总成本函数为问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况C(x)?200?50x?x，下，总税额最大？

(5) 设生产某商品的总成本为C(x)?10000?50x?x2(x为产量)，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？

解 (1) L(P)?P(12000?80P)?[25000?50(12000?80P)]?2(12000?80P) ??64900?016P16?0P 80L?(P)?16160?160P?0

22 得P?101 L??(P)??16?0，∴0P?101为极小值点.

依题意，最值一定存在，所以P?101为使销售利润最大的商品价格，此时最大利润为

L(101)??649000?16160?101?80?101?167080

?x3?x3215e (2) R(x)?x??x3?15xe?x3

R?(x)?15e?15xe?1????? ?3?

经济应用典型问题

1．按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？ 解 (ⅰ)设货币存一年期，则一年后货币总数为：A?1?4.2%? 两个后货币总数：A?1?4.2%??1?4.2%??A?1?4.2%??1.085764A (ⅱ)设货币存半年期，则存半年的利率：2.0% 半年后货币总数：A?1?2.0%?

一年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%? 一年半后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%?

两年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%??1.082432A

比较(ⅰ)，(ⅱ)知货币存一年期有较多收益，多0.00333A.

2.某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系. 解 (ⅰ)当0?x?600时，R?250x

(ⅱ)当600?x?800时，R?250x?20?x?600??230x?1.2?104 (ⅲ) 当x?800时，R?800?250?20?200?1.96?105

0?x?600?250x,? 故R?x???230x?1.2?104,600?x?800

?1.96?105,x?800?3423223.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元. (1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）；

(2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？ (3)要获得1250元利润，需要卖多少台？

解 (1)设厂家生产的台数为x，则总成本c?x??7500?60x 总收益R?x??110x，令R?x??c?x?，110x?7500?60x 解得：x?150

故要卖150台，厂家才可保本.

(2) c?100??7500?60?100?13500,R?100??11000

c?100??R?100??2500

故卖掉100台的话，厂家亏损2500元

(3)L?x??R?x??c?x??110x?7500?60x?50x?7500 L?x??1250，则50x?7500?1250，解得x?175

故要获得1250元利润，需卖175台. 4.有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？

解 设每月健身次数为x， 则第一家每月总费用c1?300?x 第二家每月总费用c2?200?2x

令c1?c2，则300+x=200+2x,解得：x=100 当0?x?100时，c1?c2这时选择第二家俱乐部 当x?100时，c1?c2，这时选择第一家俱乐部 当x?100时，c1?c2，这时选择任一家俱乐部 5.设某商品的需求函数与供给函数分别为D?P??5600P和S?P??P?10.

(1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；

(3)何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？ 解 (1)令D?P??S?P?，则

5600P?P?10，解得：P?80

560080?70 故均衡价格为80，此时供给量与需求量为：

(2)

(3)令S?P??0，即P?10?0,P?10，故价格P?10时，供给曲线过P轴，这一点的经济意义是当价格低于10时，无人供货.

6.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字表达式表出.

解 Q为销售量，R?Q?为总收益。

由题意知y是x的一次函数，故设y?ax?b 且当x?200时，y?60；当x?210，y?59， 故有???60?200a?b?a??0.1??

59?210a?bb?80??? 故y??0.1x?80

故租金为x时，饭店房租收入为：

R?x??xy??0.1x?80x??0.1?x?400??1600022

故租金为400元/套时，房租收入最大，为16000元，

当x?400时，y?40，此时饭店将空出20套高级客房.

（图形略）

7.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元： (1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数； (2)将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数； (3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x?100时，P?x??90

当x?100时，由题意P是x的一次函数

设P?ax?b，当x?100时，P?90，当x?200时，P?89 故??90?100a?b?89?200a?b，解得：??a??0.01?b?91，故P?91?0.01x

但P?75，故91?0.01x?75，即x?1600 故当100?x?1600时，P?91?0.01x 当x?1600时，P?75

0?x?100?90,? 故P??91?0.01x,100?x?1600

?75,x?1600? (2)(ⅰ)当0?x?100时，P?90，收益R?Px?90x，成本C?60x 故利润L?R?C?90x?60x?30x

(ⅱ)当100?x?1600时，P?91?0.01x，收益R??91?0.01x?x，成本C?60x

故利润L?R?C??91?0.01x?x?60x

(ⅲ)当x?1600时，P?75，收益R?75x，成本C?60x 故利润L?R?C?75x?60x?15x

0?x?100?30x,? 故利润L???91?0.01x?x?60x,100?x?1600

?15x,x?1600? (3)当x?1000时，L??91?0.01?1000??1000?60?1000?21000 故厂方可获21000元的利润.

8.一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价

31值y（元）与使用时间t（年）的函数关系. 解 使用一年的汽车的价值y?45000?1??

?3??1?1??1?1??? 使用两年的汽车的价值y?45000?1???1???45000?1??

3??3?3???1???2? 故使用t年的汽车的价值y?45000?1???45000??

3???3?tt2 9.某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办

公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？

解 设x为每间月租金，y为闲置办公室的间数，L为利润 则L??50?y??x?10?

由已知当x?120时，y是x的一次函数，故设 y?ax?b，当x?120时，y?0；当x?125,y?1

?1??0?120a?b?a??? 故有 ? 51?125a?b???b??24,? 故 y?15x?24， 则x?5y?120

故L??50?y??5y?120?10???50?y??5y?110? 即L??5?y?14??6480,y??0,50?

故当y?14，即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为6480元，此时每间月租金为190元

10. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元的收入，但销售额

2超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？ 销售量达到多少时才能获利达1000元？ 解 (ⅰ)设x为销售量，则成本C?1.22x 收益R?1.20x??x?15000??1.20?10%

令C?R，则1.22x?1.20x??x?15000??1.20?10% 解得：x?18000

故至少销售18000本杂志才能保本.

(ⅱ) L?R?C?1.20x??x?15000??1.20?10%?1.22x?0.1x?1800

令L?1000，则0.1x?1800?1000，解得x?28000 故销售量达到28000时才能获利达1000元. 11.某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解 设发行时每份债券的价格定为

1000?A0e6.5%?10A0元，则

?A0e0.65，∴A0?1000?e?0.65?522.046(元)

12.一片森林现有木材am3，若以年增长率1.2%均匀增长，问t年后，这片森林有木材多少？

1.2%??0.012?ae解 一年后森林木材数：y1?lima?1? ?n??n??1.2%??二年后森林木材数：y2?lima?1??n??n??2nn?ae0.012?2

1.2%?? 故t年后森林木材数：yt?lima?1??n??n??tn?a?e0.012t.

13.国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格80%的贷款，该企业又将新贷款进行再投资，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？

解 设Sn?2?2?0.8?2?0.82???2?0.8n?1

n?2??1?(0.8)? 则limSn?lim[2?2?0.8???2?0.8n??n??n?1]?limn??1?0.8?20.2?10

故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果.

?5e?x3(?3x ) R?(x)?0得x?3

0?x?3时R?(x)?0 x?3时R?(x)?0 ∴x?3为极大值点

依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即x?3时有最大收益 此时P?15e?1

?1 最大收益为R(3)?45e

(3) 设每年的生产准备费与库存费之和为C，批量为x则 C(x)?1000?9?1000000??x??0.05??? x???2? ?10x?x40

由C?(x)?140?10x9925得驻点x0?2?10

由C??(x)?2?10x3?0，知驻点为最小值点，

因此，x?20万件时，C最小，此时N? (4) 设每件商品征收的货物税为a，

(?)Cx(?)ax L(x)?Rx100万20万?5.

?100x?x2?(200?50x?x2)?ax ??2x2?(50?ax)?2 00L?(x)??4x?50?a

令L?(x)?0得x? 税收为T?ax? T??1450?a4a(50?a)4.此时L(x)取最大值.

(50?a2?) 0 a?25

T????12?0∴a?25时T取最大值.

故征收货物税应为25. (5) C(x)?10000?50x?xx10000x22?x?50?10000x

C?(x)?1?

令C?(x)?0得x?100(x??100舍去)

20000??C(x)??03x

∴x?100时C(x)取得最小值，即产量为100时，平均成本最低.

29.求下列经济应用问题的最大、最小值：

(1) 某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为6元(购进)，每件商品每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少(不包括商品批发价)？

(2) 某企业生产产品x件时，总成本函数为C(x)?ax2?bx?c，总收益函数为

R(x)?ax??x (a,b,c,?,??0,a??)，当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为

2多少才能使总税额最大？

解 (1) 设分x批购进，两项开支之和为g(x)

g(x)?160x?2400x?6?10%

?160x? g?(x)?16?0240?6xx2

240?6

令g?(x)?0得x?3 g??(x)?2?24?06 ?03x ∴g(x)在x?3取得极小值，由于驻点唯一，所以g(x)在x?3也取最小值.故分三批购进，两项开支之和最少.

(2) 设每件产品税额为t，那么利润为 L(x)?R(x?)C(?x) tx ?(?x2??x)?(ax2?bx?c)?tx

(?b?tx)?c， ?(??a)x2?? L?(x)?2?(?ax)???b?t，

令L?(x)?0，得驻点x???b?t2(??a)，又L??(x)?2(??a)?0

所以此时取得最大利润， 总税额为T?tx? T?(t)?0即 t?(??b?t)t2(??a)?0

??b?2t2(??a)

??b2

此时总税额最大.

∴征收税额应为

??b2.

30.已知某产品产量的变化率是时间t的函数f(t)?at?b (a,b为带数),该此产品的产量为P(t),且P(0)?0,求P(t)

解 依题意得

P'(t)=at+b所以 P(t)=

?(at+b) dt=12at+bt+C2而 P(0)=C=012所以 P(t)=at+bt2

31.设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000（即P?0时

1，已知需求量的变化率（也除需求）为Q'(P)??1000ln3?()P求需求量关于价格Q?1000）

3的弹性.

?1??1? 解 Q(P)??Q'(P)dP???1000ln3??dp?1000???C

?3??3?由Q(0)?10得0C0?PPP0?1? ?(P)?100 ?0??3??需求量关于价格的弹性?1??1000ln3???3??1?1000???3?C?(x)?7?25x，

PP

??Q'(P)Q(P)?P????p??Pln3

25x32.已知边际成本为 解 又

C?(x)?7?，固定成本为1000，求总成本函数.

C(x)??(7?，∴

25x)dx?7x?50x?C

C(0)?1000，∴

C?1000C(x)?7x?50x?1000?2.已知边际收益R(x)?a?bx，求收益函数.

R(x)?解

?(a?bx)dx?ax?b2b2x?Cx22，又

R(0)?0，

∴C?0，∴R(x)?ax?

32．汽船所耗燃料与其行进的速度的立方成正比，已知汽船行进中，当速度是10哩/小时时，燃料耗费是a元，其他耗费是b元(人力、保险、以及各种耗费)．问汽船的经济速度是多少？

解 设汽船的速度是v哩/小时，每小时运行汽船的费用是f元/小时．则

f?kv?b，

3设汽船行进了S哩，则S?vt．总费用是F，则

F?ft?fSv?S(kv?2bv)．

上式两端对v求导，则得

F??S(2kv?bv2)，

由此求出驻点v0?3b2k，且当v?v0时F??0，当v?v0时F??0，即F在v?v0达到

极小值．又由题设条件有

k(10)?a，

3从而求得k?a1000，最后得到

1000b2av0?3．

33.已知边际成本数.

解 应追加的成本数为：?20 34.已知边际成本为0). 解

C(x)?30C?(x)?100?2x，求当产量由

x?20增加到

x?30时，应追加的成本

C?(x)dx??3020(100?2x)dx?5001

，求最大利润(设固定成本

C?(x)?30?4x，边际收益为

R(x)?60?2x?(30?4x)dx?30x?2x?C?30x?2x222(∵固定成本为0)

C?0R(x)??(60?2x)dx?60x?x?C，∵

R(0)?0，∴

∴ ∴

R(x)?60x?x2

222L(x)?R(x)?C(x)?60x?x?30x?2x?30x?3x

L?(x)?30?6x?0, x?5, L??(x)??6?0

L(5)?75 ∴当

x?5时有最大利润，最大利润为

x 35.某地区居民购买冰箱的消费支出

W?(x)?1200xW(x)的变化率是居民总收入的函数，

，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？

解

?94W?(x)dx??941200xdx?1100x94?1100(亿)

1 故购买冰箱的消费支出增加100亿.

36.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入元.

(1) 为何时，公司不会亏本？ (2) 当 (3) 当

b?20bb万元时，求内部利率(应满足的方程), 万元时，求收益的资本价值.

100e0.1?10b?20 解 (1) 10年后这笔贷款的本利和： 10年后的总收益：? 若公司不亏本，则 (2) 设内部利率为

100?100?100e

be0.1(10?t)?1?dt?10eb??1?e?

100e?10eb(1?e)?1，则

b?101?e?1

?，则

?10??10020e??tdt?20?(1?e)

即

5??1?e?10?

(3) 资本价值=收益流现值-投入资金的现值

??10020e?0.1tdt?100

?1?200?200e?1?100?100?200e.

37.解下列经济应用问题。

(1)

已知生产某产品的边际成本

C?(x)?3x?18x?302，问当产量由12单位减少到3单位时，

x总成本减少多少？

(2) 某企业投资232万元扩建一个工厂，该厂投产期20年，每年收益20万元，求内部利率，(只需求出个满足的方程)

(3) 已知某商场销售电视机的边际利润为 试求 ①售出40台电视机的总利润

②售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少？ 解 (1) 减少的成本 (2) 设内部利润为 解得:

11.6??1?ec?12312L?(x)?250?x10(x?20)

?c?(x)dx???3x3??t2?18x?30?dx?756

?，则

232??20020edt

?20?x?x?L(x)???250?dx?250x??c? (3) ①10?20?2

L(0)?0,

?c?0

x2

?L(x)?250x?20

售出40台电视机的总利润为:

L(40)?9920

L(30)30?745530?248.5 ②

L(30)?7455,

L(60)?14820, L(60)?L(30)?7365

L(60)?L(30)30?245.5

故售出60台时，前30台的平均利润为248.5

后30台的平均利润为245.5.

38.X公司和Y公司机床行业的两个竞争对手，这两家公司的主要产品的供给函数分别为

PX?1000?5QX; PY?1600?4QY

(1)X公司和Y公司当前的价格弹性是多少？

(2)假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致X的销售量QX下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？ 解 (1)X公司PX?500, QX?100

dQXdPXPXQX15PXQX?X????

故X公司当前的价格弹性为?51500100?1.

Y公司PY?600, QY?250

dQYdPYPYQY14PYQY?Y?1???

故Y公司当前的价格弹性为?4600250?0.6.

(2)QY?300时，PY?400 QX?75时，PY?625 X公司产品的交叉价格弹性为

75?100?0.7 75?100(注：用弧交叉弹性公式).

400?600400?600

39.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2，销售量分别为Q1和Q2，需求函数分别为Q1?24?0.2P1,Q2?10?0.5P2；总成本函数为C?34?40?Q1?Q2?，问厂家如何确定两个市场的售价，能使得获得的总利润最大？最大利润为多少？

解 设利润函数为L，则

L?P1Q1?P2Q2?C?32P1?30P2?0.2P1?0.5P2?139422

又Lp1?32?0.4P1, Lp2?30?P2

令其为0，解得P1=80，P2=30，此为唯一驻点.

又由题意知最大利润一定存在，故P1=80，P2=30时取得最大利润336.

36.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x(万尾)，乙种鱼放养y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为?3??x??y?x,?4??x?2?y?y,?d???0?，求使产鱼总量最大的放养数？

解 设产鱼总量为T，则

T??3??x??y?x??4??x?2?y?y

令Tx?3?2?x?2?y, Ty?4?2?x?4?y为0，解得

x0?3??2?2???22, y0?4??3?2?2???22?.

唯一驻点，且由题意知最大值一定存在，故x0, y0即为所求.

40.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1=18-2Q1；P2=12-Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C?2Q?5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量即Q?Q1?Q2. (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售最及其统一的价格，使该企业的总利润最大，并比较两种价格策略下的总利润大少. 解 (1)设利润函数为L，则

L?P1Q1?P2Q2?2?Q1?Q2??5?16Q1?10Q2?2Q1?Q2?522

令LQ1?16?4Q1,LQ2?10?2Q2

为0，解得唯一驻点Q1?4, Q2?5，又因最大利润一定存在. 故Q1=4，P1=10；Q2=5，P2=7时有最大利润L=52； (2)令P1=P2=P，则

L?PQ1?PQ2?2?Q1?Q2??5?24P?32P?472

令

dLdP?24?3P?0，得唯一驻点P=8.

因最大利润一定存在，故P1?P2?8, Q1?5, Q2?4时有最大利润L=49，显然，实行价格差别策略时总利润要大些.

41.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 解 设另两边长分别为x，y，则x2?y2?L2，

周长C?x?y?l，题目即为求C?x?y?l在约束条件x2?y2?L2下的极值问题. 设拉格朗日函数

F?x,y,???x?y?l???x?y?l222?

令Fx?1?2x?

Fy?1?2y?F??x?y?l222

为0，联立解方程组得x?y? 故当x?y?22l22l，唯一驻点，且最大周长一定存在，

时有最大周长.

42.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，铱售收入R(万元)与电台广告费用X1(万元)及报纸广告费用X2(万元)之间的关系有如下的经验公式：

22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2

(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

(2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略. 解 (1)利润函数

L?R??x1?x2??15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x222

令Lx1??4x1?8x2?13

Lx2??8x1?20x2?31

为0，联立解得x1?0.75(万元)，x2?1.25(万元) 又A??L?x122??4,B??L?x1?x22??8,C??L?x222??20

2 AC?B(0.75，1.25)为极大值点， ?16?0,A?，故点0 由问题的实际意义可知，它为最大值点，即此时的最优广告策略为用0.75万元作电台广告，用1.25万元作报纸广告. (2)做拉格朗日函数

F?x1,x2,???L?x1,x2????x1?x2?1.5??15?13x1?31x2?8x1x2?2x?10x???x1?x2?1.5?2122

令Fx1?13?8x2?4x1??

Fx2?31?8x1?20x2??F??x1?x2?1.5

为0，联立解得x1?0,x2?1.5

即广告费用1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.

43.设生产某种产品需要投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数为Q?2x1?x2?，其中?,?为正常数，且????1，假设两种要素的价格分别为P1和P2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小.

解 此为有约束条件的多元函数的极值问题，即投入总费用T?P1x1?P2x2在约束条件

Q?2x1x2?12下的极值问题.

?? 设拉格朗日函数F?x1,x2,???P1x1?P2x2???2x1?x2??12? 令Fx1?P1???z?x1??1x2?

Fx2?P2???z?x1x2F??2x1x2?12????

?P???P?? 为0，联立解得x1?6?2?, x2?6?1?

?P1???P2????由题意分析可知，此时投入总费用最小

44.某企业在雇用x名技术工人、y名非技术工人时，产品的产量

22Q??8x?12xy?3y

若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量Q最大？

解 问题为产量函数Q??8x2?12xy?3y2在附加条件x?y?230下的极值问题 作拉格朗日函数

L?x,y,????8x?12xy?3y???x?y?230?22

令Lx??16x?12y???0

Ly?12x?6y???0L??x?y?230?0

解得x?90,y?140

因为由问题本身可知最大产量一定存在，所以用90名技术工人、140名非技术工人时产量Q最大

45.为修建高速公路，要在一山坡中辟出一条长500m，宽20m的通道，据测量，以出发点一侧为原点，往另一侧方向为x轴(0?x?20)，往公路延伸方向为y轴(0?y?500)，且山坡的高度为

z?10(sinπ500y?sinπ20x)

试计算所需挖掉的土方量。

解 这是一个二重积分的应用问题，其中积分区域D??(x,y)0?x?20,0?y?500?于是所需挖掉的土方量

V???10(sinD200π500y?sinπ20x)db??200dx?5000(10sinπ500y?10sinπ20x)dy???ππ??5000?cosy?10ysinx?π50020???0(10π4500dx?200?5000sinπ20x)dx20

5?10410π???x?cosx?ππ20??0?4?10π5?127324(m)3

46.某商品的销售量x是价格P的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量x对于价格P的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商品的需求量相对价格P的弹性是多少？

解 由题意得销售收入R(P)?P?x(P)?C(常数)，在上式两端对P求导，得到x(P)所满足的微分方程.

x?P??Px??P??0

dx?P?dPExEP?x?P?P?? 即 且

???

P?x??1.

PdxxdPxP47.已知某商品的需求价格弹性为

EQEP??P?lnP?1?,且当P?1时，需求量Q?1.

(1)求商品对价格的需求函数； (2)当P???时，需求是否趋于稳定. 解 (1)由

得到

dQQ???1?lnP?dP.

EQEP?PQ?dQdP??P?lnP?1?

两端积分得

lnQ?C?PlnP

将初始条件P?1时，Q?1代入上式得C?0于是所求的需求函数为Q?P?P. (2)因为当P???时，Q?0,即需求趋于稳定.

48.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性???3P3,而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数. 解 由

EQEP?PQ?dQdP??3P3得到

dQQ??3PdP2

两边积分，得lnQ??P3?C1 即Q?e?P3?C1?Ce?P3

3 又P?0时，Q?1,故C?1,于是所求的需求函数为Q?e?P. 49.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q?Q?P??其中a?0, b>0为常数，价格P是时间t的函数，且满足假设当t?0时，价格为1，试求： (1)需求量等于供给量的均衡价格Pe;

dPdtaP2, S=S?P?=bP.?1??Q?P??S?P??(K为正常数)，

(2)价格函数P?t?; (3)limP?t?

t???1 解 (1)由 (2)由(1)得

aPab2?bPa?3即得P?Pe????.

?b??Pe,将其代入方程

3dPa???k?Q?P??S?P???k2?dt?P?bP??kb?a? =2??P3?,P?b?

得到

dPdt?kbP2?P3e?P3?,

即

PdPP?Pe332??kbdt

两边积分，得P3?Pe3?Ce?3kbt.

将t?0,P?1代入上式，得C?1?Pe3,于是

1P?t????Pe??1?Pe33?e?3kbt?3. ? (3)因为lime?3kbt?0, ? k>0,b>0?,故

t???t???limP(t)?Pe.

50.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元

人民币的速率用这一帐户支付职工工资，若t以年为单位，号上余额B?f(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B0为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0. 解 虽然，银行余额的变化速率=利息盈取速率－工资支付速率 因为时间t以年为单位，银行余额的变化速率为工资支付的速率为每年12000元，于是，有

dBdt?0.05B?12000dBdt,利息盈取的速率为每年

0.05B元，

利用分离变量法解此方程得

B?Ce0.05t?240000

由B|t?0?B0,得C?B0?240000 故B??B0?240000?e0.05t?240000

由题意，令t?20时，B?0,即

0??B0?240000?e?240000

由此得B0?240000?240000?e?1时，20年后银行的余额为零.

51.在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在t时刻该池塘内鱼数y是时间t的函数y?y?t?,其变化率与鱼数y及1000?y的乘积成正比，比例常数为k?0已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾求放养七个月后池塘内鱼数y?t?的公式，放养6个月后有多少鱼？

解 时间t以月为单位，依题意有

dydt?ky?1000?y?,是y|t?0?100, y|t=3?250

对方程分离变量且积分，得到

y1000?y?Ce1000kt

将t?0,y?100代入，得C?

y1000?y?19e1000kt19,于是

ln31000,，再将t?3,y?250代入，求出k?

于是，放养t个月后池塘内的鱼数为

y?t???1000?3?t3t?尾?

9?33 放养6个月后池塘内的鱼数为

y?t??500?尾?.

52.设总人数N是不变的，t时刻得某种传染病的人数为x(t),设t时刻x?t?对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，x?0??x0(比例常数r?0,其表示传染给正常人的传染率).求limx?t?,并对所求结果予以解释. t??? 解 由题意，有

?dx?r?N?x?? ?dt?x?0??x 0? 求解这一问题，可得

?x?t??N?1??x0??rt???1??e?

N??? 令t???,得

t???limx?t??N

这表明，在题目给出的条件下，最终每个人都要染上传染病.

53.已知某地区在一个已知时期内国民收入的增长率为入的

120.若t?0110,国民债务的增长率为国民收

时，国民收入为5亿元，国民债务为0.1亿元.试分别求出国民收入及国民债

务与时间t的函数关系.

解 设该时期内任一时刻的国民收入为y?y?t?,国民债务为D?D?t?,由题意

dydtdDdt??110120 (1)

?y (2) 由(1)得 y?110t?C1

由t?0时，y?5,得C1?5 故 y?110t?5 ?3?

将(3)式代入(2)式得

dDdt?1?1?t?5? ?20?10?于是，

D(t)?1400t?214t?C2

由t?0时，D?0.1,可知C2? 故D(t)?1400t?2110

14t?110. 110t?5 t?110.

因此，国民收入为y(t)? 国民债务为D(t)?14002t?14 54.某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本y对汽车大修时间间隔x的变化率等于

2yx?81x2,已知当大修时间间隔x?1(年)时，总维修成本y?27.5(百元).试求每辆

汽车的总维修成本y与大修的时间间隔x的函数关系.并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？

解 设时间间隔x以年为单位，由题意

2y81?dy??2?xx?dx?y|?27.5 ?x?1

2??xdx?81??xdxy?e?edx?c???2x??2 =x =2?27??c3???x??cx.2

27x 由y|x?1?27.5,可得C? 因此y? 又y??? y???54x27x27x212.

?12x.

2?x,令y??0,得x?3 (负根舍去)

?1. y??(3)>0.

因此x?3是y的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车3年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低.

55.某汽车公司的小汽车运行成本y及小汽车的转卖值s均是时间t的函数，若已知

dydt?2ds1,??s,且t?0sdt3时y?0,s?4.5(万元/每辆).试求小汽车的运行成本及转卖值各自与

时间t的函数关系. 解 由

dsdt??13s 得s?Ce1?t3

代入初始条件：t?0,s?4.5,得C?4.5 于是s?4.5e1?t3

dydt?2s, 将上式代入方程

dydt?24.513t得

1e,解之得y?43e3?c

t 代入初始条件：t?0,y?0,得C?? 于是y?443

?3e13t?1?

56.设某产品在时期t的价格，总供给与总需求分别为Pt,St与Dt，并设对于t?0,1,2,?,有

(1)St?2Pt?1；(2)Dt??4Pt?1?5；(3)St?Dt.(注：教材上题目印刷有误)

1?.求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt?1?2Pt?2 2?.已知P0时，求上述方程的解 解 1?由St?Dt，知2Pt?1??4Pt?1?5 即Pt?2Pt?1?2，即

t?t0时,x???t??0，曲线是凹的，显示销售率不断增大；当t?t0时,x???t??0曲线是凸的，显

示销售率不断减少.这说明，在销出量小于最大需求量的一半时，销售速率不断增大，而当售出量大于最大需求量的一半时，销售速率不断减少，销售量在最大需求量的一半左右时，商品最为畅销.

通过对Logistic模型的分析，普遍认为，从20%到80%的用户采用某种新产品的这段时期，应为该产品正式大批量生产的时期.初期应以较小批量生产并加强宣传，而到后期则应适时转产了

62.设银行存款的年利率为10%，若以年复利计息，应为银行中一次存入多少资金才能保证从存入之后起，以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直到永远.

? 解 因为??1?0.1?n?1500n?5000

所以应当存入5000万元

63．某篮球明星与一个篮球俱乐部签定一项合同，合同规定，俱乐部在20年内连续每年末支付给该明星20万元人民币，假定银行存款以5%的年复利的方式计息．

（1）问俱乐部老板在签约当天应在银行中存入多少钱，才能保证付清合同所规定的应

付给该明星的钱呢？

（2）如果合同规定永不停止地向该明星及其后代每年支付20万元，那么老板应在银行

中存入多少钱呢？

（3）如果合同规定第n年末支付n万元(n?1,2,?)，问老板又应在银行中存入多少钱？ （4）若篮球明星要求第n年末支付(1+0.05)n万元，并且永不停止地支付下去，老板能

答应吗？为什么？

解 （1）设老板在银行中存入的本金为A（单位为万元，以下同）年利率为i，则第

n一年末的本利和为A(1?i)，第n年末的本利和应为A(1?i)，假定为第n年支付而存入的

n本金为An，则第n年末的本利和应为An(1?i)(n?1,2,?,20)为保证每年末都能支付20

万元，则每年末的本利和最少应等于20万元，即

An(1?i)n?20(n?1,2,?,20)

因此老板应存入的本金总数应等于

12020

?n?1An??(1?i)n?12020n?20?n?11(1?i)n?201?i?1(1?i)11?i21

1?

120 ?20i[1?1(1?i)20]

将i?代入即得本金总数为

20

?n?1An?400[1?(2021)20． ]（万元）

202120注：此题可利用Taylor级数按一定的精度要求计算()?(1?121)20的近似值．

（2）由（1）易见老板存入的本金总数应为 1??11?iA?20?400（万元） ． ?n?(1?i)n?201n?1n?11?1?i（3）若规定第n年末支付n万元（n?1,2,?），则应在银行存入的本金总数为：

??

?n?1?An??n?1n(1?i)?n?11?i?2(1?i)2???n(1?i)n??．

设幂级数?nxn的和函数s(x)为

n?1?? s(x)??n?1nxn?x?nxn?1n?1?x(1?x)2 ，

故

1?

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120代入即得应存入的本金为420万元．

n（4）若要求第n年末支付(1?0.05)万元，则老板应在银行存入的本金总数为

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由于该级数是发散的，本金总数为无穷大，因此老板不能答应．

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