第10章 静电场习题解答

10-1 A球内q1所在空腔表面感应电荷?q1，均匀分布在空腔表面；q2所在空腔表面感应电荷?q2，均匀分布在空腔表面；球外表面感应电荷q1?q2，均匀分布在外表面。

q1，q2，q各受力：

Fq1?Fq2?0

Fq?(q1?q2)q

4π?0r2

10-2 以地球表面为高斯面，应用高斯定理：

2E?dS??E4πR?11E?q地?0

得q地＝－4πE1RE?0(1) 以大气层外表面为高斯面，同理

2?E?dS??E4π(R11E?h)?2(q地?q气）?02

所以q地?q气??4π?0E2(RE?h) (2)

将已知数据代入（1）（2）得(RE?6.37?10m)：

6q地??4.5?105（库仑） q气?3.37?105（库仑）

?气?q气q气??4.43?10?13( 库仑/米3) V气4π（R?h)3?4πR3EE33?地?

q地?102

(库仑/米) ??8.8?1024πRE10-3 取电荷元dq??Rd???0Rcos?d? 电荷元产生的电场强度大小为

dE?dq?0cos?d??

4π?0R24π?0R??0cos2?d? dEx??dEcos??4π?0RdEy??dEsin??2π??0sin?cos?d?

4π?0REx??dEx??0?0cos2?d?????0

4π?0R4?0R?0sin?cos?d??0

4π?0R??0i 4?0REy??dEy???02π所以圆环中心处场强E?

10-4 设半球半径为R，将半球看作是由许多无限窄的环带组成，每一环带可视为小圆环，小圆环带电量为

dq?2?πrRd?

小圆环在球心O处产生的场强为

dE?dq2?πRsin?Rd??sin?cos?d? cos??cos??4π?0R24π?0R22?0π20每小圆环产生的dE方向都沿y轴负方向，所以

E??dE??E???? sin?cos?d??2?04?0?j 4?0

10-5 （1）半径为R的均匀带电原板在其中心处的场强为零。所以该题所求中心处的场强为零。

（2）P点场强可用带正电的整个圆柱面和带负电的宽a的无限长直线在P点产生的场强叠加。由对称性，整个圆柱面（带正电）在P点产生的场强为零。在题给条件下，带负电的宽a的无限长直线的单位长度带电量为???a?，它在P点产生的场强为

E??a? 此即本题所求P点的场强。

2??0R

10-6（1）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L长带电体上的分布为

E??2π?0(x?a)

L长带电体中电荷元dq所受的力为

??'dx dF?dqE?2π?0(x?a)该带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力

F??dF??L0??'dx??'L?a ?ln2π?0(x?a)2π?0L此即两带电体的相互作用力。

（2）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L长带电体上的分布为

E??2π?0(x?a)sin?

L长带电体中任一电荷元dq所受的力为

dF?dqE???'dx2π?0(x?a)sin?

L长带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力

F??dF??L0??'L?a ?ln2π?0(x?a)sin?2π?0sin?L??'dx

10-7 (1)作如图所示正方体，电荷q位于正方体中心，通过一个正方形平面的电通量为

?e?q 6?0（2）以电荷q所在位置为中心，R2?a2为半径作一球，通过圆面的电通量即为通过以圆面为底的球冠面的电通量。

2πR2?a2(R2?a2?a)qa?e???(1?) 2222?04π(R?a)2?0a?Rq解2：以电荷q所在位置为原点，将圆面看作由许多无限窄圆环带组成，通过每一圆环带的电通量为（如图所示）

d?e?Edscos?qa ?2πrdr?22224π?0(a?r)a?rrqadr?322?0(a2?r2)?则?e?d?e???R0rqadrqa(1?) 32?22222?2?0(a?r)a?R010-8 腔内电场强度等于半径为R1，体电荷密度为?的带电球体在腔内电场强度E1减去半径为R2，体电荷密度为?的带电球体在腔内的电场强度E2，应用高斯定理

?E1?dS??q?0

E14πr12?431πr1? 3?0E1??r1 3?0?r2 3?0同理E2?E?E1?E2??r1?r2 ?3?03?0?a，方向为O1指向O2。 3?0所以所求场强大小为E?

10-9 本题所给带电体电场具有轴对称分布。 当r?R时，作如图示高斯面，应用高斯定理。

?E1?dS??q?0

E?2πrl??0?01r?0r'2πr'ldr'

?0r2 E?3?0当r?R时，同样应用高斯定理

E?2πrl??0?01R?0r'2πr'ldr'

?0R3 E?3?0r

10-10 细棒上任一电荷元带电量

dq?qdx 2L?2L2L?q?r???Ldxq?42? 2L（1）UP??2L?ln?4π?(r2?x2)128π?0L?2L2L?02????r??42??L2L?2（2）UP'??q'dxq?2x?L?2L?ln??

4π?0(x?x')8π?0L?2x?L?

10-11 首先求电场强度分布，作半径为r长为l的同轴圆柱面为高斯面，应用高斯定理 r?R时

?E1?dS??q?0

E1?2πrl??0?01r?2πr'ldr'

E1??r 2?01r?R时

E2?2πrl??0?R0?2πr'ldr'

?R2 E2?2?0r得到电势分布 r?R时

U??E1dr??r00r?r?r2 dr??2?04?00?r?r2?R2R?R2 dr??dr?ln?R2?0r2?02?0r4?0r?R时

U??E2dr??E1dr??rRR0Rr

10-12 题意可知电场强度分布为 x??a时，E?0

?a?x?a时，E???i ?0x?a时，E?0

电势分布为

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