微分中值定理(怎样构造辅助函数)

微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方

法

相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。于是我百度找到了下面内容：

先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在ε使f’(ε)=f(ε)

证明过程： f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以

dy11?y,即dy?dx，所以对两边简单积分，即?dy??1dx，所以dxyy解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C，但这只是我的经验方法，所以不加）就是lny?x，也就是y?ex，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把ex除下来，就是

y?1，所以左ex边就是构造函数，也就是y?e?x，而y就是f(x)，所以构造函数就是

f(x)e?x，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0

证：一样的，

dy1??2xy，把x,y移到两边，就是dy??2xdx，所以积dxy分出来就是lny??x2，注意y一定要单独出来，不能带ln，所以就是

y?e?x2，移出1就是yex?1,所以构造函数就是f(x)ex，再用罗尔定理

22就出来了。

三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε) ε+2f(ε)=0. 证：

y?dy11x?2y?0，移项就是dy??2dx，所以lny??2lnx，所以就是dxyx1，移项就是y?x2?1，所以构造的函数就是f(x)?x2，再用罗尔定2x理就可以了。

注：这种方法不是万能的，

结合下面例题尝试做下。

微分中值定理的证明题

1. 若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)?f(b)?0，证明：

???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

证：构造函数F(x)?f(x)e?x，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由罗尔中值定理知：???

即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

经典题型二： 思路分析：

实战分析：

设a,b?0，证明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 证：将上等式变形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作辅助函数f(x)?xe，则f(x)在[,]上连续，在(,)内可导，

baba

由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1) 1?(1,1) ，

11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e? 1?(1,1) ， 即 b11ba???ba 即：aeb?bee?(1??)e?(a,b) ??(a,b)。

经典题型三

设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)证明：在(0,1) 内至少存在一点?，使得：F??(?)?0。

证：显然F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0)?F(1)?0，故由罗尔定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0， 于是F?(x)在[0，x0]上满足罗尔定理条件，故存在??(0,x0)， 使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即证

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