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高考数学最后冲刺必读题解析（4）
19. （本题满分14分）
已知点Pn?an，bn?满足：an?1?an·bn?1，bn?1?2??1，且已知，n?NP，?? 02?31?an3?bn （1）求过点P0，P1的直线l的方程；
（2）判断点Pn?n?2?与直线l的位置关系，并证明你的结论；
（3）求点Pn的极限位置。 解：（1）由a0?213，b0?23，得：
b1?3?1?1????3?2?34，a1?13?34?14
显然直线l的方程为x?y?1………………3分 （2）由a1?314，b1?34，得：
b2?4?1???1??4?2?45，a2?14?45?15
∴点P2?l，猜想点Pn?n?2?在直线l上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点P2?l
假设当n?k(k?2)时，点Pk?l，即ak?bk?1 当n?k?1时，
ak?1?bk?1?ak·bk?1?bk?1
??1?ak?bk?1 ??1?ak??1bk1?ak2?bk1?ak
∴点Pk?1?l
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综上，点Pn?l?n?2?………………8分 （3）由an?1?an·bn?1，bn?1?bn1?an?12bn1?an2，an?bn?1，得：
an?1?an·?an·1?an1?an2?an1?an?an?0?
?1an?1?1an
?1?1 ∴数列??是以?3为首项，公差为1的等差数列
a0?an??1an?3?n，an?1n?31n?31n?3?n?2n?3bn?1?an?1? ?lima?limnn??n???01?2n?13n
n??limbn?limn?2n?3n???limn??1? ?Pn???P?0，1?
即点Pn的极限位置为点P（0，1）………………14分
20. （本题满分14分）
已知直线l：y?mx?1与曲线C：ax2?y2?2?m，a?R?交于两点A、B。 ??? （1）设OP?OA?OB，当a??2时，求点P的轨迹方程；
?? （2）是否存在常数a，对任意m?R，都有OA·OB??2？如果存在，求出a的值；
如果不存在，说明理由。
?? （3）是否存在常数m，对任意a?R，都有OA·OB为常数？如果存在，求出m的
?值；如果不存在，说明理由。
解：（1）设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则 ??? OP?OA?OB??x1?x2，y1?y2?
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?y?mx?1 由?消去y，得： 22?2x?y?0? ?m2?2?x2?2mx?1?0?1?
2??m?2?0 依题意有?解得： 22???2m??4m?2?0???? m2?1且m2?2，即m??1或m?1且m??2
x1?x2?2m2?m2，x1x2?12?m2
y1?y2?mx1?1?mx2?1?m?x1?x2??2?2m?x?2??2?m ∴点P的坐标为：?消去m，得：
4?y?2?2?m?x??1 12242?m2
2x?y?2y?0，即?y?1?222 由y?42?m2，得m2?2y?4y
?2y?4?1?y? ??，解得y?0或y?4
?2y?4?2??y ∴点P的轨迹方程为?y?1?2x??1（y?0或y?4）………………5分 122 （2）假设存在这样的常数a ?y?mx?1 由?2消去y得： 2ax?y?2??m
2?ax?2mx?1?02mm?a2?2?2?1m?a2
x1?x2??，x1x2??www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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?? OA·OB?x1x2?y1y2
?x1x2??mx1?1??mx2?1??m?1·x1x2?m?x1?x2??12??
?m?1·?2??1m?a2?m·?2mm?a2?1 ??3m?1m?a22?1
??2 解得：a? 当a?1313
2时，m???13?0，且方程<2>判别式
??4m2?4?m2?1???0 3?13 ∴对任意m?R，A、B两点总存在，故当a???OA·OB??2………………10分
时，对任意m?R，都有
?? （3）假设这样的常数m存在，对任意的a?R，使OA·OB为一常数M。
??? 即OA·OB?x1x2?y1y2?M
即
?3m?1m?a22?1?M
2 化简，得：?1?M?a??M?2?m?1
∵a为任意正实数
?1?M?0 ??，即3m2?1?0，矛盾。 2??M?2?m?1?0 故这样的常数m不存在。………………14分 20．（本小题满分12分）
数列{an}，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1?1,Sn?1?4an?2.
（Ⅰ）令bn?an?1?2an(n?1,2,3?),证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn?bn3,Tn为数列{1log2Cn?2?log2Cn?1}的前n项和,求limTn.
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解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2(a?b)x?ab.
依题意知，s、t是二次方程f?(x)?0的两个实根.
∵f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,……2分 ∴f?(x)?0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根. ∵s?t,?0?s?a?t?b. …………4分 （Ⅱ）由s、t是f?(x)?0的两个实根，知s?t?2(a?b)3427,st?3ab3.
23ab(a?b)…6分
∴f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??∵f(s?t2)?f(a?b3s?t2)??,f(2272(a?b)?3(a?b)?13ab(a?b)?12(f(s)?f(t)),
故AB的中点C（
s?t)）在曲线y=f(x)上. ……8分
（Ⅲ）过曲线上点(x1,y1)的切线方程为y?y1?[3x12?2(a?b)x1?ab](x?x1). ∵y1?x1(x1?a)?(x1?b)，又切线过原点.
∴?x1(x1?a)(x1?b)??x1[3x1?2(a?b)x1?ab]. 解得x1=0，或x1?a?b2.
a?b22当x1=0时，切线的斜率为ab；当x1?时，切线的斜率为?1(a?b)2?ab.……10分
4∵a?0,b?0,a?b?22, ∴两斜率之积
[?14(a?b)?ab]?ab?(ab)?2214(a?b)?ab?(ab)?2ab?(ab?1)?1??1.
222故两切线不垂直. ………………12分 21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.
（Ⅰ）设f(x)在x?s及x?t处取到极值，其中s?t,求证:0?s?a?t?b; （Ⅱ）设A(s,f(s)),B(t,f(t)),求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若a?b?22，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直. 解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，
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作CD⊥AB于D， 由题知：AB?AC?而AB?AC?|AB|?|AC|?cosA ② 由①②AC?cosA?同理，|BD|?3212,即|AD|?1212|AB| ①
. ………………2分
、B（1，0）……4分 ,则|AB|?2 ∴A（－1，0）yb22设双曲线方程
xa22??1(a?0,b?0),c(?12,h),E(x1,y1)
2?x?,1??5由3BE?2EC,得? …………6分
2?y?h.1?5?2?1h?2?1?24ab?2?44h因为E、C两点在双曲线上，所以???1 ………………8分 2225a25b??c2?a2?b2?1??1?2a?22?xy?7解得?，∴双曲线方程为??1 …………10分
166?b2??777?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵|TM|?|TN|,?22y1?(x1?x0)222?2y2?(x2?x0)
2222∴y1?y2?(x2?x0)?(x1?x0)?(x2?x1)?2x0(x1?x2) ① 又M、N在双曲线上，满足7x1?276y1?1,7x2?2276y2?1,?y1?y2?6(x1?x2) ②
2222222将②代入①，7(x1?x2)?2x0(x1?x2)
∵x1?x2,?7(x1?x2)?2x0 …………………………12分
27772又x1?x2?,?x0?(x1?x2)?7,
∴x0取值范围为（7,??） ………………14分
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???21. （12分）已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足AP·BP?k|PC|2
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
（2）当k?2时，求|AP?BP|的最大值和最小值。 解：（1）设p(x，y)
? 则AP?(x，y?1)?BP?(x，y?1)?PC?(1?x，?y)
????? 由AP·BP?k|PC|2得
x2?y2?1?k[(x?1)2?y2] 3分
整理得(k?1)x2?2kx?(k?1)y??k?1?0（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k≠1时，*式化为(x?kk?11|k?1|)?y?2?1(k?1)2
表示心(kk?1，0)为圆，为半径的圆 6分
（2）当k=2时，*式化为(x?2)2?y2?1，x?[1，3]
?? 此时，|AP?BP|?2x?y22?24x?3
∴其最小值为2，最大值为6 12分
??12 22. （14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，AB·AC?，P1为AB边上的一点，BP1≠AB，
23从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……
（1）令BPn为xn，寻求BPn与BPn?1（即xn与xn?1）之间的关系。
（2）点列P1，P2，P3，P4……Pn是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若|AB|?1，|BP1|?13，则是否存在正整数
m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。
??1解：（1）由|AB|=|AC|=1，AB·AC?，∴∠BAC?60°
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从而△ABC为边长为1的正三角形 2分
则BPn?xn，则BPn?1?xn?1，于是BQn?BPn·cos60°? ∴CQn?1?12xn 3分
12(1?12xn)
12xn
同样 CRn?CQn·cos60°? ARn?1? 又APn?11(1?1xn)?1?1xn 4分 4111?ARn·cos60°?(?xn)
224222 BPn?1?1? 即xn?111131(?xn)??xn 2244831??xn 5分 4823??18(xn?2323)
18 （2）由（1）可得：xn?1? ∴{xn? ∴xn?2323}，当x1≠?(x1?2323时，是以x1?18)n?1为首项，公比为?的等比数列
)(? 7分
当n???时，xn?23
23 ∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0? （3）P0Pm?|xm?23|?|x1?m?1 9分
21m?111m?1|()?() 11分 3838m?1 由|P0Pm|?0.001得() 当m?4时，8m?11?810003?0.003，∴8?10003
∴m?4，m的最小值为4 14分
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