大林算法

 

e?2s1. 设Go?s??，T＝1s，试用大林算法设计单位阶跃输入时数字控制器D?z?。设等效闭环系统的时间

s?s?1?常数T0=2s。设计的大林数字控制器存在振铃现象吗？如何消除？ 解：

包括采样保持器在内的广义对象的脉冲传递函数为

 

G?z??0.368?1?0.718z?1?z?3?1?z?1??1?0.368z?1?

现在构成T0=2s的一阶闭环系统，纯滞后也为2s。

 

e?2se?2s0.5e?2s??s????

2s?12s?1s?0.5

?1?e?s0.5e?2s?0.393z?3＝ ??z??Z???1?ss?0.5?1?0.607zD?z????z?G?z???1???z???＝

 

?1?0.781z??1?0.607z?11.068?1?z?1??1?0.368z?1?z?3?1?0.393z?3?

存在振铃现象，将D(z)中的因子1+0.718z-1改为1+0.718即可。修改后的D(z)为:

2.

D?z??0.622?1?z?1??1?0.368z?1?z?31?0.607z?1?0.393z?3

已知被控对象的传递函数为

Go?s??1e?2s

4s?11e?2s

2s?1试求达林算法数字控制器，使系统的闭环系统的传递函数为

??s??设采样周期T＝1 s。

解：

N ＝τ/T = 2/1 = 2。

 

?1?e?sT??1?e?sT?1G?z??Z??Go?s???Z??e?2s?＝

4s?1?s??s?

 

0.221z?3?1? ?1?z?zZ＝ ?1???4s?1?1?0.779z?1?2

?1?e?sTe??s??1?e?sT1?2s??1??1?2＝＝ 1?zzZ??z??Z??Z?e???????T?s?1?2s?1?2s?1??s??s

 

 

0.393z?3 ＝

1?0.607z?1 ∴ 达林数字控制器为：

 

1.778?1?0.779z?1???z?1＝D?z???G?z?1???z?1?0.607z?1?0.393z?3

e?s3. 设工业对象G?s??，采样周期T＝1s，期望闭环系统的时间常数T

3.34s?1字控制器及单位阶跃输入下的系统响应输出序列。 解：

∵ Tτ＝2s，τ＝1s，N＝τ/T = 1。

τ

＝2s。试比较消除振铃前后的数

 

e?se?s∴ ??s??＝

T?s?12s?1∴

 

???1?e?sTe?s?10.394z?2?1?1??z??Z? ??z??1?z?Z?s2s?1?＝?1s2s?11?0.607z?????? 同样，求得：

 

???1?e?sTe?s?1?1?1G?z??Z??z?1?zZ???? ??s3.34s?1??s?3.34s?1??＝

0.144z?2?1?0.733z?1?1?0.741z?1

所以，大林数字控制器为：

 

??z?1?0.741z?10.394z?21?＝D?z???G?z?1???z?0.144z?2?1?0.733z?1?1?0.607z?1?0.394z?2

＝

 

 

?1?0.733z??1?z??1?0.39z??1?1?12.736?1?0.741z?1?

 

 

∵ Tτ < T1

∴ RA > 0，存在振铃现象。

 

 

 

 

 

 

 

Y(z)??z?R?z? U(z)??G?z?G?z?

 

1?0.741z?110.394z?2 ＝

1?0.607z?11?z?10.144z?2?1?0.733z?1?

 

＝

?1?0.607z??1?z??1?0.733z??1?1?1?12.736?1?0.741z?1?

 

 

 

＝2.736?0.364z?1.88z?2?0.634z?3?1.465z?4??

RA ＝ u(0)－u(T)= 2.736－0.368 ＝ 2.368。

 

1Y?z????z??1?z?1

＝0.394z?20.394z?2＝

?1?1?1?0.607z??1?z?

 

?0.633z?3?0.778z?4?0.866z?5?

由此可见被控对象中惯性环节的低通特性，使得控制器的这种振荡对系统输出的稳定性几乎没有影响，但会增加

执行机构的磨损。

4. 某工业加热炉通过飞升曲线实验法测得参数为：K＝1.2，τ＝30s，T1＝320s，即可用带纯滞后的一阶惯性环节模型来描述。若采用零阶保持器，取采样周期T＝6s，试用大林算法设计工业炉温控制系统的数字控制器的D（z），已知T?＝120s。 解：

 

Ke??s1.2e?30s＝，N??/T?30/6?5。 Go?s??T1s?1320s?1???1?e?sT1.2e?30s?1?5?1G?z??Z??1.2z?1?zZ???? ??s320s?1??s?320s?1?? =z?5

??1?z?1?1?e?z?1?z1?e????3/160?1?1?3/160?1z?1?e?=

?3/160?z?61?e?3/160z?1

 

e?30se??s＝， ??s??T?s?1120s?1∵ Tτ < T1

∴ RA > 0，存在振铃现象。

 

 

???1?e?sTe?5Ts?1?5?1??z??Z??z?1?zZ???? ??s120s?1??s?120s?1??=

z?5??1?z?1?1?e?z?1?z1?e????1/20?1?1?1/20?1z?1?ez??=

?1/20?61?e?1/20?1z

 

∴D?z????z?1 ?G?z?1???z?

 

?1/20z?61?e?3/160z?11?e1?e?1/20z?1＝

?1/20?1?3/160?6?1/20?1?1/20?6?1?e?z1?ez1?ez??1?e?z??＝

2.624?1?e?3/160z?1??1?e?1/20z?1??1?e?1/20z?1??1?e?1/20?z?6???]

e?s5. 已知被控对象的传递函数为G?s??，采样周期

?2s?1??s?1?出现振铃现象？设等效闭环系统的时间常数T0=1s。

解：

① 广义对象G(z)：

T＝1s，试用大林算法设计D(z)，判断是否会

1e?sG(z)?(1?z)Z[]

s(2s?1)(s?1)?1

?z?1(1?z?1)Z[1]

s(s?1)(2s?1)

 

 

 

 

114?z?1(1?z?1)Z[??]

ss?12s?1T?1szz2z?z?1(1?z?1)[??] ?1?1/2z?1z?ez?ezz2z?z?1(1?z?1)[??]

z?1z?0.368z?0.607z?1112?[??]

zz?1z?0.368z?0.607z?1112?[??]

zz?1z?0.368z?0.607

?z?11.761z?0.094

z(z?1)(z?0.368)(z?0.607)1.761z?0.094z(z?0.368)(z?0.607)1.761（z?0.053）z(z?0.368)(z?0.607)

 

?

?

② 取T0 = 1s，滞后1个采样周期。

 

e?s?(s)?，则

s?11e?s?(z)?(1?z)Z[]

ss?1?1

 

 

?z?1(1?z?1)Z[1]

s(s?1)

 

 

11?z?1(1?z?1)Z[?]

ss?1zz?z?1(1?z?1)[?]

z?1z?e?111?(1?z?1)[?]

z?1z?0.368

?z?10.632

z(z?1)(z?0.368)0.632

z(z?0.368)

? ③ 求D(z)。

 

D(z)??(z)

G(z)[1??(z)]??0.632z(z?0.368)(z?0.607)z(z?0.368) 2z(z?0.368)1.761z?0.094z?0.368z?0.6320.632(z?0.607)z(z?0.368) 21.761z?0.094z?0.368z?0.632?0.359(z?0.607)z(z?0.368)

z?0.053(z?1)(z?0.632)C(z)R(z)?(z)?，

G(z)G(z) ∵

U(z)?

 

∴ G(z) 零点和Φ(z)的极点是U(z)的极点。

考察G(z)和Φ(z)，知，U(z)有位于左半单位圆内的极点z = －0.053 。所以，会产生振铃现象。

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