金湖二中2011届高三第二次市统测模拟考试数学附加题

金湖二中2011届高三第二次市统测模拟考试

数学附加题 2011.01.15

注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.

2.本试题共40分，考试时间30分钟.

3.答题前，考生务必将姓名、考试号写在试卷相应位置。

1．(本小题为矩阵与变换程选做题，满分10分) ?3已知矩阵A???c3??1??，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1???， d??1??3?属于特征值1的一个特征向量为α2???．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

??2?

5

2．(本小题为极坐标与参数方程选做题，满分10分)

1?x?t?,??t30°直线和曲线?(t为参数)1?y?t??t?过点P（－3，0）且倾斜角为相交于A、B两点．求线

段AB的长．

6

3．（本小题为必做题，满分10分） ．．．

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.

（Ⅰ） 求某乘客在第i层下电梯的概率(i?2,3,4,5) ； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率； （Ⅲ）求电梯停下的次数?的数学期望.

7

4．（本小题为必做题，满分10分） ．．．

?如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，?BAD?90，

PA⊥平面ABCD，AB?1，AD?2，PA?CD?4.

（Ⅰ）求证：BD⊥PC；

（Ⅱ）求二面角B?PC?A的余弦值.

PDCAB8

金湖二中2011届高三第二次市统测模拟考试

数学附加题参考答案 2011.01.15

1．(本小题为矩阵与变换程选做题，满分10分)

?1??31、解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为?1???可得，??1??c???3??1??1??6?????， d??1??1?即c＋d＝6； ………………………………………2分 ?3??3由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为?2???，可得???2??c???3??3??3???????， d???2???2?即3c－2d＝－2， …………………………………………6分 解得??c?2?3?A???a?4?23? …………………………8分 ?4?A的逆矩阵 A?1???c1/3?2/31/?2 ?1/?22．(本小题为极坐标与参数方程选做题，满分10分)

?3s,?x??3??2解：直线的参数方程为?(s为参数)，…………………………3?y?1s??21?x?t?,22?tx?y?4曲线?可以化为(t为参数)??y?t?1?t?分

．……………………………5分

将直线的参数方程代入上式，得s2?63s?10?0．

设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1?s2?63，s1s2?10．……………8分 AB?s1?s2?(s1?s2)2?4s1s2＝217．…………………………………10分 3．（本小题为必做题，满分10分） ．．．解：（Ⅰ）F(i)?14； （Ⅱ）P?1?(1?14)?4175256

（Ⅲ）?可取1、2、3、4四种值

9

P(??1)?C4441?16423； P(??2)?C4(2?2)4A4444424?2164；

P(??3)?C4C4A3443?3664；P(??4)??664

故?的分别列如下表：

? P 1 1642 2164?3?366421643 664?1756436644 664 ∴E??164?2??4?

4．（本小题为必做题，满分10分） ．．．

证明：(Ⅰ)以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则B(0,1,0)，C(?2,4,0)，D(?2,0,0)， P(0,0,4),

? PC?(?2,4,?4),BD?(?2,?1,0),?PC?BD?4?4?0所以 PC⊥BD.

（Ⅱ）易证BD为面PAC的法向量，BD?(?2,?1,0)

Pz 设面PBC的法向量n?(a,b,c)，

PB?(0,1,?4),BC?(?2,3,0)

??????b?4c?n?PB?0所以?????????n?BC?0?a?6cDACB

x ????y ?12?45?53??16265所以面PBC的法向量n?(6,4,1) ,?cos??????BD?nBDn?

因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B?PC?A的余弦值为

16265.

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P(??1)?C4441?16423； P(??2)?C4(2?2)4A4444424?2164；

P(??3)?C4C4A3443?3664；P(??4)??664

故?的分别列如下表：

? P 1 1642 2164?3?366421643 664?1756436644 664 ∴E??164?2??4?

4．（本小题为必做题，满分10分） ．．．

证明：(Ⅰ)以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则B(0,1,0)，C(?2,4,0)，D(?2,0,0)， P(0,0,4),

? PC?(?2,4,?4),BD?(?2,?1,0),?PC?BD?4?4?0所以 PC⊥BD.

（Ⅱ）易证BD为面PAC的法向量，BD?(?2,?1,0)

Pz 设面PBC的法向量n?(a,b,c)，

PB?(0,1,?4),BC?(?2,3,0)

??????b?4c?n?PB?0所以?????????n?BC?0?a?6cDACB

x ????y ?12?45?53??16265所以面PBC的法向量n?(6,4,1) ,?cos??????BD?nBDn?

因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B?PC?A的余弦值为

16265.

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