1994考研数二真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

?sin2x?e2ax?1,x?0,?(1) 若f(x)??在(??,??)上连续,则a?＿＿＿＿＿＿. x? a, x?0??x?t?ln(1?t),d2y(2) 设函数y?y(x)由参数方程?所确定,则2?＿＿＿＿＿＿. 32dx?y?t?t(3)

d?cos3x??＿＿＿＿＿＿. f(t)dt???0?dx?(4) xedx?＿＿＿＿＿＿.

(5) 微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?3x2ln(1?x)?(ax?bx2)?2,则 ( ) (1) 设limx?0x25 (B) a?0,b??2 25(C) a?0,b?? (D) a?1,b??2

2(A) a?1,b???23?x,x?1(2) 设f(x)??3,则f(x)在点x?1处的 ( )

? x2, x?1?(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在

sinx(3) 设y?f(x)是满足微分方程y???y??e?0的解,且f?(x0)?0,则f(x)在 ( )

(A) x0的某个领域内单调增加 (B) x0的某个领域内单调减少 (C) x0处取得极小值 (D) x0处取得极大值

2x?x?1(4) 曲线y?exarctan的渐近线有 ( )

(x?1)(x?2)21(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

??sinx43423422(5)设M??2,cosxdx,N?(sinx?cosx)dxP?(xsinx?cosx)dx,??????1?x2??222?则有 ( )

(A) N?P?M (B) M?P?N (C) N?M?P (D) P?M?N

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

d2y(1) 设y?f(x?y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求2.

dx(2) 计算

?10x(1?x)dx.

n3422?).

n??4ndx(4) 计算?.

sin2x?2sinx(3) 计算limtan((5) 如图,设曲线方程为y?x?2?1,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为2D1,点A的坐标为(a,0),a?0,证明：

y

四、(本题满分9分)

设当x?0时,方程kx?

五、(本题满分9分)

D3?. D12B C y?x2?1 2A O x 1?1有且仅有一个解,求k的取值范围. x2x3?4设y?,

x2(1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.

六、(本题满分9分)

求微分方程y???a2y?sinx的通解,其中常数a?0.

七、(本题满分9分)

设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明：当0???1时,

八、(本题满分9分)

求曲线y?3?|x2?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转所得的旋转体体积.

??0f(x)dx???f(x)dx.

01

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】?2

sin2x?e2ax?1【解析】在x?0时是初等函数,因而连续；要使f(x)在(??,??)上连

x续,f(x)在x?0处也连续,这样必有limf(x)?f(0).

x?0由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,x?0时,sinxx；ex?1x.

sin2x?e2ax?1sin2xe2ax?1lim?lim(?) x?0x?0xxx?lim从而有a??2. (2)【答案】

2x2ax?lim?2?2a?a,

x?0xx?0x(t?1)(6t?5)

tdxyt?3t2?2t???3t2?5t?2, dtxt?1?11?tdydydtdy???【解析】

dxdtdxdt?y?xx??(y?6t?5(t?1)(6t?5)x)t. ??1xt?t1?1?t【相关知识点】复合函数求导法则：如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(3)【答案】?3sin3xf(cos3x)

【解析】原式?f(cos3x)?(cos3x)??f(cos3x)?(?sin3x)?3??3sin3xf(cos3x). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

(4)【答案】

212(x?1)ex?C,其中C为任意常数 2

【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是e先进入积分号,

原式?x2121?2x2x2x22?xd(e)?xe?ed(x) ????2221?(x2?1)ex?C 其中C为任意常数. 2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.

【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则

?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.

(5)【答案】(x?4)?y4?Cx,C为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得

dxdy??0,两项分别对x和对y积分得到

x(x?4)y1x?4ln?lny?C1, 4x化简有

x?44?y?C,即 (x?4)?y4?Cx,C为任意常数. x

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)

【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得

x2ln(1?x)?(ax?bx)?(x??o(x2))?(ax?bx2)

221?(1?a)x?(?b)x2?o(x2),

2?1?a?05?由假设,应该有?1,故由此a?1,b??,故应选(A).

2?(?b)?2??20ln(1?x)?(ax?bx2)方法2：用洛必达法则.lim为“”型的极限未定式,又分子分母在

x?00x2点0处导数都存在,所以,

1?a?2bx 原式左边?lim1?xx?02x(1?a)?(a?2b)x?2bx2 ?lim(若1?a?0,则原式极限为?,必有1?a?0)

x?02x(1?x)??1?2b5?2, ?a?1,b??. 22故应选(A).

(2)【答案】(B)

23??23?【解析】方法1：因f(x)?x,(x?1)?f(x)左可导,f??(1)??x?3?3??2?2.

x?1f(x)?limx?1?f(1)?f(x)不右连续?f(x)在x?1的右导数不存在, 又lim??x?1x?1故选(B). 方法2：f(1)?22f(x)?limx?1?f(1), ,而 lim??x?1x?13所以,f(x)在x?1点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.

2f(x)?f(1)3???,f??(1)?lim?limx?1?x?1?x?1x?1

232x?f(x)?f(1)33?2.f??(1)?lim?limx?1?x?1?x?1x?1x2?故f(x)在x?1点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)

sinx【解析】由于f(x)满足微分方程y???y??e?0,当x?x0时,有

f??(x0)?f?(x0)?esinx0.

sinx又由f?(x0)?0,有f??(x0)?e0?0,因而点x0是f(x)的极小值点,应选(C).

(4)【答案】(B)

【解析】用换元法求极限,令t?t21,则当x???时,t?0,且有 xt2?t?1?limy?limearctan?, limy???,

x?0x???t?0(1?t)(1?2t)4

所以y轴和y??4是曲线的两条渐近线.

而x?1和x??2并非曲线的渐近线,因当x?1和x??2时,y分别趋向于??e和 2??e142.故应选(B).

【相关知识点】渐近线的相关知识：

水平渐近线：若有limf(x)?a,则y?a为水平渐近线；

x??铅直渐近线：若有limf(x)??,则x?a为铅直渐近线；

x?a斜渐近线：若有a?limx??f(x),b?lim[f(x)?ax]存在且不为?,则y?ax?b为斜渐

x??x近线.

(5)【答案】(D)

【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.

由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故M?0,且

由定积分的性质,如果在区间?a,b?上,被积函数f(x)?0,则

??baf(x)dx?0 (a?b).

?所以 N?2?20cosxdx?0, P??2?2cos4xdx??N?0.

04因而 P?M?N,应选(D).

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

(1)【解析】方程两边对x求导,得y??f??(1?y?),两边再求导,得

y???f???(1?y?)2?f??y??,

由于一阶导数不等于1,所以1?f??0. 以y??f?f??代入并解出y??,得 y???. 3??1?f(1?f)【相关知识点】复合函数求导法则：

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(2)【解析】用换元积分法.

观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.

2令x?sint,则2xdx?costdt.当x?0时,t?0；当x?1时,t??,故 2131?31?4?. 原式??2costdt??(??)?02422322【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：

?(n?1)!!?, n为偶数，??n!!2In??2sinnxdx??2cosnxdx??

00?(n?1)!!, n为奇数.??n!!??注：对于双阶乘n!!的定义如下:当n为奇数时,n!!?1?3?n!!?2?4??n.

(3)【解析】方法1：用三角函数公式将tan(?n；当n为偶数时,

21?)展开,再化为重要极限lim(1?)x?e的

x??4nx形式,利用等价无穷小因子替换,即x?0时,tanxx,从而求出极限.

?2?2???1?tan2tan??2n??lim?1?n? limtann(?)?lim????n??4nn???1?tan2?n???1?tan2?n?n???1?tannn2??2tan?n??lim?1?n??2??1?tan?n??224tann?n?12222tan1?tannnn4tann??lim?e2n2n?12n1?tan?e4.

方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 e因为

x??limlnf(x)?limf(x).

x??22??2tan?2n?limnln?1?n? limlntann(?)?limnln?n??2n??2?4nn???1?tan?1?tannn??1?tan2?2?2tantan?4n??limn?4, ?limn??n??n??222?1?tan?1?tann?nn??2lntann(?)24n于是 limtan(?)?lime?e4.

n??4nn??(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin2??2sin??cos?,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得

n?

dxdx??sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)

??(

sinxdx11 cosx?u ?du

2sin2x(cosx?1)2?(1?u)(1?u)222 sinx?1?cosx)

??1(1?u)?(1?u)1112du??(??)du

4?(1?u)(1?u)28?1?u1?u(1?u)21?2???ln|1?u|?ln|1?u|??C 8?(1?u)??1?2???ln?1?cosx??ln?1?cosx???C, ?8?1?cosx?其中C为任意常数.

方法2：换元cosx?u后,有

原式?dxsinxdx1du????2sinx(cosx?1)?2sin2x(cosx?1)2?(1?u)(1?u)2.

用待定系数法将被积函数分解:

1ABD???

(1?u)(1?u)21?u1?u(1?u)2(A?B)u2?(2A?D)u?(A?B?D), ?(1?u)(1?u)2?A?B?011???2A?D?0?A?B?,D?.

42?A?B?D?1?于是,原式＝?11121?2?(??)du?ln1?u?ln1?u??C 2???81?u1?u(1?u)8?1?u?1?2???ln?1?cosx??ln?1?cosx???C. ?8?1?cosx?(5)【解析】对梯形OABC的面积为D,可用梯形面积公式

h(a?b),其中h为梯形的高,a、2b分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC的面积则用积分式求解.

11?(?a2)a(1?a2)22D?a?, 22a1131a(3?2a2)2D1??(?x)dx?a?a?.023261?a232?1,由此, 由于 1?a??a,所以

32?a222a(1?a2)D3(1?a2)31?a232????. D1a(3?2a2)3?2a223?a2226

四、(本题满分9分)

132?1的解即为?(x)?kx?x?1的零点. 2x1要证明方程kx?2?1有且仅有一个解,只需要证明?(x)是单调函数,且它的函数图

x像仅穿过x轴一次就可以了.以下是证明过程.

【解析】方程kx?对?(x)求一阶导数,有??(x)?3kx2?2x?x(3kx?2).

当k?0时,??(x)?0,?(x)单调减少,?(0)?1?0,lim?(x)???,?(x)在x?0有

x???唯一的零点；

2224)单调减少,在(,??)单调增加,?()?1?,而3k3k3k27k22?(0)?1?0,lim?(x)???,当且仅当最小值?()?0时,?(x)才在x?0有唯一零点,

x???3k23. 这时应该有k?923时,原方程有唯一实根. 总之,当k?0或k?9当k?0时,?(x)在(0,

五、(本题满分9分)

【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y?在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y??的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.

y?x?无定义点：x?0,驻点：x?2.

4824???,y?1?,y??0. x2x3x4(??,0) + + 上升 0 无定义 无定义 (0,2) 2 0 + (2,??) + + 上升 y? y?? y 函数在(??,0)? + 无定义 下降 极小 (2,??)单调增加,在(0,2)单调减少,在(??,0)(0,??)凹,在x?2取

极小值yx?2?3；

由于 limy??,所以x?0为垂直渐近线.

x?0由于 limx??y4?1,lim(y?x)?lim2?0,所以y?x是斜渐近线.

x??x??xx粗略草图如下：

y 3 O

【相关知识点】渐近线的相关知识：

x??y?x 2 x水平渐近线：若有limf(x)?a,则y?a为水平渐近线； 铅直渐近线：若有limf(x)??,则x?a为铅直渐近线；

x?a斜渐近线：若有a?limx??f(x),b?lim[f(x)?ax]存在且不为?,则y?ax?b为斜渐

x??x近线.

六、(本题满分9分)

【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程r?a?0有两个根为r1,r2??ai.

当a?1时,非齐次方程的特解应设为 Y?Asinx?Bcosx.

22

1sinx,B?0,Y?. a2?1a2?1当a?1时,应设 Y?xAsinx?xBcosx,

1x代入方程可以确定 A?0,B??,Y??cosx.

22代入方程可以确定 A?由此,所求的通解为

当a?1时,y?c1cosax?c2sinax? 当a?1时,y?c1cosx?c2sinx?sinx； a2?1xcosx. 2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程

2变为y???py??qy?0.其特征方程写为r?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r 1,r2；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1erx1?C2er2x;

rx1(2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?e;

(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e为常数.

?x?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2*3.对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y(x),可用待定

系数法,有结论如下：

?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e

的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程

?xy???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为

(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],

(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

七、(本题满分9分)

【解析】方法一：用积分比较定理.

首先需要统一积分区间：换元,令x??t,则 由此

??0f(x)dx???f(?t)dt,

01??0f(x)dx???f(x)dx????f(?x)?f(x)?dx.

0011因为f(x)递减而?x?x,所以f(?x)?f(x),上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.

为分清两中值的大小,需要分别在(0,?),(?,1)两区间内用积分中值定理：

?由此,

10f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx,

0?1???0f(x)dx???f(x)dx?(1??)?f(x)dx???f(x)dx

001?1??(1??)??f(?1)???(1??)f(?2)

?(1??)???f(?1)?f(?2)?,

其中,0??1????2?1；又因f(x)递减,f(?1)?f(?2).上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令

?(?)??f(x)dx???f(x)dx, ??[0,1].

00?1则 ??(?)?f(?)??10f(x)dx.

由积分中值定理,有??(?)?f(?)?f(?),其中??(0,1)为常数.

由f(?)递减,???为唯一驻点,且??(?)在???由正变负,???是?(?)的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点??0或1.从而有

?(?)??(0)??(1)?0,0???1.

命题得证.

【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：

若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

八、(本题满分9分)

【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x轴的交点是(?2,0),(2,0). 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于?x,x?dx?的小竖条的体积微元：

22222???dV???3?(3?y)dx?3?(x?1)????dx

y y?3?x2?1y?3 ?2 O x x?dx 2 x??(8?2x2?x4)dx,0?x?2,

于是 V?2?

?20(8?2x2?x4)dx?448?. 15

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库1994考研数二真题及解析在线全文阅读。