电磁场与电磁波(第四版)课后答案__谢处方_共138页

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 1 -

共138页 电磁场与电磁波（第四版）课后答案

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez C?ex5?ez2

求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；

（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。

ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez解 （1）aA?222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11 （

4

）

由

c?oAB?sAB?11?AB1?4?1?711，得

238?AB?co?s1(?11)?135.5 238（5）A在B上的分量 AB?Aco?sAB?exeyezAB11 ??B17（6）A?C?152?3??ex4?ey13?ez10 0?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20

50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20?)? 4 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4() 2ex5?ez2?)?4exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 2 -

exey5ez20A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11

1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P。 1(0,1,?2)3(6,2,5) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2， R23?r3， ?r??r?2ex2?ey?ez81ex4?ezR31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0 故?PP为一直角三角形。 12P31 （2）三角形的面积 S?1R12?R23?1R12?R23?17?69222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez

?17 .13且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eyRP?P?3?1?y?cos()?cos?1()?120.47

RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。

?x?cos?1(解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos?1(A在B上的分量为 AB?AAB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。

exeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10

?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C；

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 3 -

解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C

由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X

故得 X?pA?A?P

AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐

3标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(2?3)?、y2z?3 ?4sin(2?3)?23、故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120

故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场E?er25， 2r（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex； （2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

E?er251 ?2r21?332

Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

E?2525r?ex3?ey4?ez5 ?3?2rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB)?cos?1(?19(102))?153.6

EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1R2? R1R2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 4 -

sin?1co?1ss?i2n?c??1sin?1sin?2s?i?nsin?12os2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 ?(er3sin?)dS?SrS ??coscos ?(e3sin?)dS的值。

?(e3sin?)erSrdS?2??22 d?3sin??5sin?d??75???001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验

证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 ?A?1?(rr2)??(2z)?3r?2

r?r?z4所以 ??Ad???dz?02?50?d??(r3?05?22r)rd? 001?2z又

?AdS??SS(err2?ez2z)e(rSd?S?d?ere?42?Sd?z )

??5002?5d?zd????2r4rd??d00 00?12?0?故有 ??Ad??120??AdS

S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中

心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 （3）A对此立方体表面的积分

?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?

22?12?12?12?121212122122x(?)dxdz? ?2?1212121212121212121 ??2x2()2dxdz??2?12?12?12122213 ??24xy()dx?dy2?12?12?1?2??1122x4y2?(2231)xd?yd

241?AdS ?24S?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。

故有 ??Ad??2??2解 ?rdS??rerdS?SS?d??aa00sin?d??4?a3

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 5 -

又在球坐标系中，?r?12?(r2r)?3，所以

r?r2??a?rd?????3r??0002sin?drd?d??4?a3

1.15 求矢量A?exx?eyx?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回

路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2解 ?Adl??xdx??xdx??2dy??0dy?8

2C00002222ex又 ??A???xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ???AdS???(ex2yz?ez2x)ezdxdy?8

S00故有

C?Adl?8????AdS

S1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。

4?a 解 ?Adl??xdx?xydy??(?acos?sin??acos?sin?)d??22?2422CC04?Ax?a4 222??AdS??ez(?)ezdS??ydS???rsin?rd?dr???x?y4SSS001.17 证明：（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。

?Aya2?解 （1）?R??x?y?z???3 ?x?y?zexeyez??（2） ??R???0 ?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AR?Axx?Ayy?Azz，故

??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？

?(AR)?ex解 在圆柱坐标系中，由 ?F?1d[rf(r)]?0

rdr可得到

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 6 -

f(r)?Cr

C为任意常数。

在球坐标系中，由 ?F?12d[r2f(r)]?0

rdr 可得到 f(r)?C2r1.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P2(8,2,?1)的线1(2,1,?1)积分?Edl：（1）沿抛物线x?y2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？

解 （1） ?Edl??Exdx?Eydy??ydx?xdy?

CCC22?yd(2y)?2y122dy??6y2dy?14

1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222故

C?Edl??ECxdx?Eydy??ydy(?61?4)y?(6y?4)y?4)yd??(d121 14由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 ?ey?ez505050???解 ???ex(x2yz)?ey(x2yz)?ez(x2yz)?

?x?y?zex2xyz?eyx2z?ezx2y

345的方向导数?ey?ez505050故沿方向el?ex为

22??6xyz4xz5xy ???el????l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为 r?? ?r ?zz r ??361660112 ?????l505050501.21 试采用与推导直角坐标中

?A?A?A?A?x?y?z相似的方法推导圆柱坐标

?x?y?z下的公式

x

o ? ??

z y

题1.21图

?A??Az1?。 ?A?(rAr)??r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 7 -

????z??z????z??z?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??

?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理

r??rz??zr??rz??z?????rzr??r????A?????drdz???rzA??drdz?

?A????r???z??A?r????

[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z?r??r?????z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??

[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z??Az?Ar?r???z?z?? ?z?z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为

1?(rAr)?A??AzΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[??]??

r?rr???z?1?(rAr)?A??Az??? 故得到圆柱坐标下的散度表达式 ??A?lim???0??r?rr???z222xyz1.22 方程u???给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向222abc矢量。

2y2z 解 由于 ?u?ex2x?e?eyza2b2c2 ?u?2(x)2?(y)2?(z)2

a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 ?uxyzxyz?(ex2?ey2?ez2)(2)2?(2)2?(2)2 abcabc?u1.23 现有三个矢量A、B、C为 A?ersin?c?o?se??cos??ceo? s?sB?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin?

n?C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 1?1?1?A? ?A?2(r2Ar)?(sin?A?)??r?rrsin???rsin???青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 8 -

1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? 2r?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?er1???A?2rsin??rArre????rA?rsin?e??? ??rsin?A?erre?rsin?e?1????0 2rsin??r????sin?cos?rcos?cos??rsin?sin?故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

1?1?B??Bz

(rBr)???r?rr???z 1?(rz2sin?)?1?(z2cos?)??(2rzsin?)?

r?rr???zz2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rrerre?ezerre?ez1???1?????B???0

r?r???zr?r???zBrrB?Bzz2sin?rz2cos?2rzsin?故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

?B=?C=?Cx?Cy?Cz

????x?y?z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0?x?y?z

exeyez?????C??ez(2x?6y)

?x?y?z3y2?2xx22z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 ?A?0，??A?0；

?B=2rsin?，??B?0； ?C?0，??C?ez(2x?6y)

1.24 利用直角坐标，证明

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 9 -

?(fA)?f?A?A?f

解 在直角坐标中

f?A?A?f?f(?Ax?Ay?Az?f?f?f??)?(Ax?Ay?Az)? ?x?y?z?x?y?z?A?A?A?f?f?f(fx?Ax)?(fy?Ay)?(fz?Az)? ?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)??(fA) ?x?y?z1.25 证明

?(A?H)?H??A?A??H

解 根据?算子的微分运算性质，有

?(A?H)??A(A?H)??H(A?H)

式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。

由a(b?c)?c(a?b)，可得

?A(A?H)?H(?A?A)?H(??A)

同理 ?H(A?H)??A?(H?H?)?A??(H )故有 ?(A?H)?H??A?A??H

1.26 利用直角坐标，证明

??(fG)?f??G??f?G

解 在直角坐标中

?Gy?Gx?Gx?Gz?Gz?Gyf??G?f[ex(?)?ey(?)?ez(?)]

?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?y所以

?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?

?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?

?x?x?y?y?(fGx)?(fGz) ?(fGz)?(fGy)?]?ex[?]?ey[?z?x?y?z?(fGy)?(fGx)ez[?]???(fG)

?x?y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明

及?(??A)?0，试证明之。 ??(?u)?0解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有

?un1(???u)dS??udl?dl??du?0 ????lS1SCCCC2 由于曲面S是任意的，故有 C1S2 ??(?u)?0 n2 青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

f??G??f?G?ex[(Gz题1.27图

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 10 -

（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有

?(??A)d???(??A)dS??(??A)dS??(??A)dS ??SS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

S1?(??A)dS??Adl， ?(??A)dS??Adl

C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有

A)d?所以得到 ??(???C1C2C2C1?Adl???Adl

C2??Adl??Adl???Adl??C2Ad l?0 由于体积?是任意的，故有 ?(??A)?0

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 11 -

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?0U0d?43x?23，式中阴

9极板位于x?0，阳极板位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）（2）x?d2和x?dx?0和x?d区域内的总电荷量Q；区域内的总电荷量Q?。

4 解 （1） Q??d??(?4?0U0d?43x?2)3Sdx???0U0S??4.72?10?11C ??93d?02（）

d414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由

12mv?qU 2 0得 v?2mqU?1.37ms ?61 Am2 故 J??v?0.31 8I?J?(d2)2?10?6 A

2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??rsin?

球内的电荷体密度为

Q ??34?a3Q3Q?故 J??v?e??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??asin?

球面的上电荷面密度为

dQ????d??Q 4?a2Q? 故 JS??v?e?Q2?asin??e?s?in4?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。

??青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 12 -

解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r1?2ex4?ez4E1?1? 4??0r?r1?3??0(42)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

r?r2?1ex4?ey4 E2???4??0r?r2?3??0(42)3q2故(4,0,0)处的电场为

322??02.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为

?ar?r? dE?ld??? 3 4??0(2a) ?lez?(excos???eysin??) d??

a 82??0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度 为

E(0,0,a)??dE? ?2 ?l(ez??ex2)? l ???[e?(ecos??esin?)]d?? zxy?82??a82??0a??20E?E1?E2?ex?ey?ez2

2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、

?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

题 2.6图

d? 则

E1?eyL3 tan30?L26?l13?l1 (cos30?cos150)?ey 4??0d2??0L 3?l23?l1 E??(ecos30?esin30)??(e3?e)2xyxy 2??0L8??0L 3?3? E3?(excos30?eysin30)l3?(ex3?ey)l1

2??0L8??0L 2.7图 题

故等边三角形中心处的电场强度为

E?E1?E2?E3?

3?l13?l13?l13?l1 ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 13 -

解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为

4??0[(x?a)?y?z]电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为

2qex(x?a)?eyy?ezz

E2??4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有

ex(x?a)?eyy?ezz2[ex(x?a)?eyy?ezz] ?2223222232[(x?a)?y?z][(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到

(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32

①

y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32

②

z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32

③

当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解；

当y?0且z?0时，由式①，有

(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3

解得

x?(?3?22)a 但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0drdE?ez232 2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为

E1?qex(x?a)?eyy?ezz22232

r?z0dr?z01E?ez???ez223222122?(r?z)2?(r?z0000)0???ez0? 2?0 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为

3z0E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)3z0?ez0?1?E 4?02 题2.10图

2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 14 -

解 球面上的电荷面密度为

Q ??4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为

JS??v??ω?r??ez??era?

?Qsin? 4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为

?Q ?si?n?ddl?ad?细圆环的电流为 dI?JSdl4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

e???asin??e?3?0?Qa2sin3?d??0?Qsin?d? dB?ez?e?ezz22322222322(b?d)8?(asin??acos?)8?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a?0b2dI2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如

题2.11图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx； （2）证明：在中点处dBxdx等于零；

（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxdx2也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex2?0NIb2232?0Ia22(a?z)2232

(b?d4)（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为

??0NIb2? ?0NIb2B?ex?2?2322232?2(b?x)2[b?(d?x)]??22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有

22dB3?NIbd23?NIbd2x0 ??20??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]2222dB15?NIbx3?NIbx00（3） ??? 图 222722252 题2.11

dx2(b?x)2(b?x)

15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?227222522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx 令 ，有??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx 青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 15 -

即 5d24?b2?d24 故解得 d?b

2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中

心线与z轴重合，通 过的电流为I。证明在第一 象限内的磁感应强度为 Bx???0I?， 4?a ?Ir 式中?、r1和r2如题2.12图By?0ln2 4?ar1 所示。 解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的

I细条带，每一细条带的电流dI?dx?。由安 题 2.12图

2a 培环路定理，可得位于x?处的细条带的电流

dI在点P(x,y)处的磁场为

?0Idx??dI?0Idx?dB?0??

4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR则 dBx??dBsin????0Iydx?224?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx?

dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]a

所以 Bx????x??x??0I??arctan??22?4?a[(x?x)?y]4?ay???a?a?x???a?x???I??0?arctan??arctan?????4?a??y??y???0Iydx?a?a?

?x?a??x?a?? ?0I???arctan???arctan????4?a?yy??????I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aa?0I(x?x?)dx?By???22?4?a[(x?x)?y]?a?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2

ln?224?ar18?a(x?a)?y?I?0ln[(x?x?)2?y2]8?aa??a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 4??0r4?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。式中?1??r,p1?，Fr? 并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为 青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

题 2.13图

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 16 -

E1?13(p1r)rp1[?3] 4??0r5r所以p1与p2之间的相互作用能为

13(p1r)(p2r)p1p2We??p2E1??[?3]

4??0r5r因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则

rco?s 1 p1r?p1p2r?p2rcos?2

又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有

2)(r?p)?rp1p2s?in1?sin (r?p cos122?另一方面，利用矢量恒等式可得

(r?p1)(r?p2)?[(r?p1)?r]p2?[r2p1?(rp1)r]p2?r2(p1p2)?(rp1)(rp2)

因

1p1)p]2sin?1s?in2?c?osp1p2co?s[(r?pr?2p?)(r1p)(r2p?1)(r2p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 于是得到 We?4??0r3(p1p2)?1此

c?os 2故两偶极子之间的相互作用力为

p1p2?Wed1?sin?sin?cos??2cos?cos?F???(3)? r()1212q?const4???rdrr03p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。

?I解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?01

2?r1?0I1I2?Bdz??e 直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12??Ie2z1122?d0式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。

同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为

?0I1I2Fm21??Fm1?e 2122?d2.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

Fm??0I1I2(sec??1) ? 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为 青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

题2.15图

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 17 -

?0I1 2?r圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为

B1?e?dFm?I2dl2?B1?dl2?ey?exsi?n?ez由题2.15图可知 dl2?(x?d?acos?

2??0aI1I2(?ezsi?n?e所以 Fm??2?(d?aco?s)0?0I1I2 2?xc?oas?) dc?os?)?d

x2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

r?(p?)E?p?E。

解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?

dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?

2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]

22222当dl??1时，有 dldl E(r?)?E(r)?(??)E(r) 22 dldl E(r?)?E(r)?(??)E(r)

22 故得到

T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)? r?(p?)E?p?E

题2.16 图

?0aI1I22?cos??exd??2??(d?acos?)0?aII2?d2??ex012(??)??ex?0I1I2(sec??1)

2?aad2?a2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 18 -

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

qR?R?D?[3?3]? 赤道平面 q 4?R?R? err?ez(z?a)qerr?ez(z?a)a {2?}2322232 4?[r?(z?a)][r?(z?a)] 则球赤道平面上电通密度的通量

???DdS??Dezz?0dS?

SS?q aqa1?(?1)q??0.293q 2212(r?a)023.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为

Ze?1r?D0?er???，试证明之。

4??r2ra3?Ze 解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er4?r2Ze3Ze????? 原子内电子云的电荷体密度为

4?ra334?ra3电子云在原子内产生的电通量密度则为 b a ?4?r33Zer?0 D?e??e2rrc 23 4?r4?r a Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er??? 题3. 3图(a) 4??r2ra3? 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?Cm3, 两圆柱面半

题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 223222324??(r?a)(r?a)0a径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的

电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

qEdS?r?b在区域中，由高斯定律?，可求得大、小圆柱中的正、负电

?0S0青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 19 -

?b2?0?0b2r? 荷在点P产生的电场分别为 E1?er2??0r2?0r2b b c a ?0 ＝ ?0 c a ＋

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

??a2?0?0a2r??E1??er?? 2??0r?2?0r?2

?b2ra2r?(?2) 点P处总的电场为 E?E1?E1??2?0r2r?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电

场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2

2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er??? E3?er

2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

1d2(rDr) 2rdr解：由?D??，有 ?(r)??D?故在r?a区域 ?(r)??01d2322[r(r?Ar)]??0(5r?4Ar) 2rdr541d2(a?Aa)[r]?0 在r?a区域 ?(r)??022rdrr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)4，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 20 -

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3???0?E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为

2Q???2?0 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？

解 （1）由高斯定理?D0dS?q，当r?a时，有 D01?0

Sa当a?r?b时，有 2?rD02?2?a? 1，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r?2?b? 2，则 D03?er当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1 （2）令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到 1??

?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从

点P（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连1(2,1,?1)移到点P2(8,2,?1)时电场所做的功：接该两点的直线。

解 （1）W??Fdl?q?Edl?q?Exdx?Eydy?

CCC2q?ydx?xdy?q?yd(2y2)?2y2dy?C12q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?2故

2W?2q?ydx?xdy?q?yd(6y?4)?(6y?4)dy?C1q?(12y?4)dy?14q??28?10?6(J)

13.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 46 -

（2）

?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??)

n?1?（3）

将式（1）～（3）带入条件③，可得到

???Aann?1ncosn???Bna?ncosn?

n?1（4）

?ql?lnRn?1?n?1(A?na?B?na)cosn??(???)?nn00r?a

2??0?rn?1（5）

?1rnlnR?lr?n(?) no s r?r c 当?00时，将lnR展开为级数，有

n?1nr0（6）

?(???0)ql?an?1n?1?n?1()cosn? 带入式（5），得 ?(An?na?Bn?0na)cosn????2??0r0n?1r0n?1（7）

n?n由式（4）和（7），有 Ana?Bna

An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()

2??0r0r0ql(???0)1ql(???0)a2n 由此解得 An??， Bn??2??0(???0)nrn02??0(???0)nr0n故得到圆柱内、外的电位分别为

ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?

2??02??0(???0)n?1nr0（8）

qlql(???0)?1a2n22?2(r,?)??lnr?r0?2rr0cos??()cosn? ?2??02??0(???0)n?1nr0r（9）

220ql讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为

ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0) ?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为

?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr0

2??0???02??0(???0)1青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 47 -

1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr

2??02??0???02??0???02?0ql的电 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷

???0位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）

?2(r,?)??qllnR????0???0a2

?qql。 的线电荷ql；位于(,0)的线电荷l；位于r?0的线电荷???0???0r0

4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。 解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与感应电荷的电位?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为

qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）

2??02??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。

?(r,?)满足的边界条件为

?)??lr(?,(r)??)； ① ?(r,?)?C。 ② ?(a,由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为

?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）

n?0?将式（1）和（2）带入条件②，可得到

?ql?nAacosn??C?lna2?r02?2ar0cos? （3） ?n2??0n?0将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有

1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?

n?1nr0（4）

220?带入式（3），得

?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2nlnr0， An??() 由此可得 A0?C?2??02??0nr0ql故导体圆柱外的电为

ql?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos??

ql1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 48 -

q1a2n?()cosn??l(lnR??lnr) ?2??0n?1nr0r2??0ql?其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为

?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0

由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）

a2

的线电荷ql；位于(,0)的线电荷?ql；位于r?0的线电荷ql。

r0

4.13 在均匀外电场E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此时导体球面上的电荷密度???0U0a，总电荷q?4??0aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。

设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

?0(r,?)??E0z??E0rcos?

是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为

① r??时，?(r,?)??E0rcos?；

????dS?q r?a?(a,?)?C ②时，0?0，?rS其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。

?2cos??B1r?1?C1 由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??Ar13代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0

3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r

（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a

3?2利用（1）的结果，得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos?? 4??0r 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0?ezE0，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。

解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为

① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；

????③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?01??2

?r?r青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

Q青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 49 -

由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos?

?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?

a o ? ?0 ??0E0??0A1???E0?2?a?3A2

???0???03E0 A??EA??aE0 由此解得 10，22???02???0题4.14图

3? ?(r,?)??E0rcos? 所以 12???0???0a3?2(r,?)??[1?()]E0rcos?

2???0r空腔内、外的电场为

3?E1????1(r,?)?E0

2???0(???0)E0a3()[er2cos??e?sin?] E2????2(r,?)?E0?2???0r空腔表面的极化电荷面密度为

3?0(???0)?E0cos? ?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a?2???04.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。

解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。

球壳外的场可由高斯定理求得为

QE2(r)?er

4??0r2Q?2(r)?

4??rr2 0r1 Qo pz ?? 外表面上的电荷面密度为 2 4?r22Q 设球内的电位为?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)，其中

pcos?p题 4.15图

?p(r,?)??P1(cos?) 4??0r24??0r2是电偶极子p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。

?in(r,?)满足的边界条件为

① ?in(0,?)为有限值；

② ?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以

z

带入条件③，有

A1a?A2a?2，

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

- 50 -

?in(r1,?)?Q4??0r2??p4??0r12P1(cos?)

??AnnrPn(co?s )由条件①可知?in(r,?)的通解为 ?in(r,?)n?0由条件②，有

?Anr1nPn(cos?)?n?0?Q4??0r2?p4??0r12P1(cos?)

比较两端Pn(cos?)的系数，得到

，

4??0r134??0r2An?0(n?2)

Qp1r?(r,?)??(2?3)cos? 最后得到 14??0r24??0rr1??1??1??????球壳内表面上的感应电荷面密度为 10r?r0?n1?r?A0?Q， A1??pr?r1??3pcos? 34?r13ps??22r1si?n?d? 0感应电荷的总量为 q1???1dS??3?co?4?r10S4.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在z 球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？

解 er 设球内的均匀场为H1?ezH0(r?a)，球外的场为

H2(r?a)，如题4.16图所示。根据边界条件，球

? 面上的电流面密度为 a H1 H2 H)JSo? n?(H2?1r?a?er?(H2?ezH0)r?a?

er?H2r?a?e?H0sin?

er?H2r?a?0，则得到球面上的电流面密度为 若令题 4.16图

JS?e?H0s?n i

这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。

4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。

P?（1）证明：球内的电场是均匀的，等于； ?0（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同，

4?R3。 ??3z 解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。

P 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度

o 为

R ?p?P?n?P?er?Pcos?

介质球内、外的电位?1和?2满足的边界条件为

青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net

题 4.17图

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库电磁场与电磁波(第四版)课后答案__谢处方_共138页在线全文阅读。