上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

三角函数

一、填空题 1、（宝山区2015届高三上期末）函数y?3tanx的周期是

2、（虹口区2015届高三上期末）在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若

A?75?,B?60?,b?3，则c? 3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角?的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，

is2角?的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A(xA,)，则n＝ ．(用数值表示)

45?4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC?2ccosA，tanA?1，则B?_________ 35、（金山区2015届高三上期末）方程：sinx+cosx =1在[0，π]上的解是 ▲

6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC的顶点A(2,6)、则△ABCB(7,1)、C(?1,?3)，的内角?BAC的大小是 .（结果用反三角函数值表示）

7、（静安区2015届高三上期末）已知tan?、tan?是方程x2?33x?4?0的两根，?、

????(?,)，则???= .

228、（浦东区2015届高三上期末）函数y?sinx?3cosx的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数y?tan?????x?的单调递减区间是 ?4?10、（普陀区2015届高三上期末）在?ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、

c，若a?23，c?2，A?120?，则S?ABC? 11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数y?2cosx与y?2sin(2x??)(0????)，它

?的交点，则?的值是 3?12、（松江区2015届高三上期末）已知函数f(x)?sin(?x?)（x?R，??0）的最小

3?正周期为?，将y?f(x)图像向左平移?个单位长度(0???)所得图像关于y轴对称，

2则?? ▲

313、（徐汇区2015届高三上期末）已知sin???，则cos2??__ __

5们的图像有一个横坐标为

14、（杨浦区2015届高三上期末）已知sin?1? , ???0,??，则?=_______________ 215、（长宁区2015届高三上期末）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________________ 16、（长宁区2015届高三上期末）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

5tanB?6ac， 则sinB的值是 222a?c?b

二、选择题 1、（宝山区2015届高三上期末）已知点P(tan?,cos?)在第三象限，则角?的终边在（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 2、（崇明县2015届高三上期末）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)???的最小正周期是?，且当x??0,?时，f(x)?sinx，则

?2?（ ）

?5?f??3??的值为…………………?3311A．? B． C．? D．

22223、（奉贤区2015届高三上期末）下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）

A．y?cosx B．y?2x C．y?sinx D．y?tanx

三、解答题

11、（崇明县2015届高三上期末）已知函数f(x)?3cos2x?sin2x．

2（1）求f(x)的最小正周期；

????（2）求f(x)在区间??,?上的最大值和最小值．

?64?

2、（奉贤区2015届高三上期末）已知函数f(x)?3cosx?sinx?cosx?最小正周期，并求f(x)在区间??

23，求f(x)的2????,上的最大值和最小值． ?64????2???3??,x??,?，求3、（虹口区2015届高三上期末）已知cos?x???4?10??24????si?nx??4??

4、（黄浦区2015届高三上期末）已知函数f(x)?23sinxcosx?cos2x,x?R． (1)求函数f(x)的单调递增区间；

,sxin,的值xco s2

(2)在?ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f(A)?2,C?求?ABC的面积S?ABC的值．

?4,c?2，

5、（静安区2015届高三上期末）在锐角?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足

sinA3?. a2b（1）求?B的大小； （2）若b?7， ?ABC的面积S?ABC?33，求a?c的值. 4 6、（浦东区2015届高三上期末）某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已知AB与地面所成角的大小为60，点A在地面上的射影为H，如图.请在地面上选定点M，使得

?AB?BM达到最大值.

AMAHBM?3?7、（普陀区2015届高三上期末）已知函数f(x)?asin2x?bsinxcosx满足f()?f()?2

62（1）求实数a,b的值以及函数f(x)的最小正周期；

（2）记g(x)?f(x?t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值.

8、（青浦区2015届高三上期末）如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足

y?Asin(?t??)?b，?????,??，已知某摩天轮的半径为50米，

点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．

（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米?

第20题图

9、（松江区2015届高三上期末）在?ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足a?b?c,b?2asinB． （1）求A的大小；

（2）若a?2，b?23，求?ABC的面积．

10、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数f(x)?Asin(x? （1）求A的值； （2）若f(?)?f(??)?

11、（杨浦区2015届高三上期末）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，?MON??4),x?R，且f(53?)?． 1223?3，??(0,)，求f(???)． 224?，

2现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

M

ODCNAB12、（闸北区2015届高三上期末）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，

该曲线段是函数y?Asin(?x??)(A?0,??0,??(0,?))，x?[?4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(?1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

yBGF(- 4,0)

2CQDPMEx-1O上，且?POE??，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时?的值．

13、（长宁区2015届高三上期末）已知?2????,tan??cot???83 （1）求tan?的值； （2）求sin??2?????2??的值。

参考答案 一、填空题

1、? 2、2 3、-2425 4、3??4 5、2或0

6、arccos55 7、?2? 8、2 9、??k???.k??3?? 3?44??（k?Z ）11、?6 12、?712 13、25

14、?或5?66

15、

?32 16、5

二、选择题

1、B 2、D 3、A

三、解答题 1、解：（1）f(x)?31?cos2x2?12sin2x ?312cos2x?2sin2x?32 ?sin(2x??33)?2 T?? （2）因为???6?x?4，所以0?2x??53?6? 当2x??3??2时，即x??12时，f(x)的最大值为1?32 当2x???3?0时，即x??6时，f(x)的最小值为

32. 2、解：f?x??3cos2x?sinx?cosx?32

10、3

3(cos2x?1)13 2分 ?sin2x?222??sin(2x?)?3， 4分

3 ??T?因为?2??? 5分 2?6?x???4，所以0?2x??5??， 6分 36当2x?当2x?3、解：x??3?2时，即x??12时，f(x)的最大值为1?3， 7分 时，f(x)的最小值为3． 8分

?3?0时，即x???6??272???(,)，在第一象限，∴sin(x?)?1??； 442410010sixn?(x? sin?4??4?)sxin?(4????4)c?osx?cos(?) sin；44452??1 cosx22sxi?n?7； 254、解(1)∵f(x)?23sinxcosx?cos2x，x?R， ∴f(x)?2sin(2x? 由2k???6).

?2?2x??6?2k???2,k?Z，解得k???6?x?k???3,k?Z.

∴函数f(x)的单调递增区间是[k??(2)∵在?ABC中，f(A)?2,C? ∴2sin(2A??,k??],k?Z. 63??4,c?2，

?6 又0?A??，

∴A?)?2,解得A?k???3,k?Z.

?3.

依据正弦定理，有

asin?3?csin?4,解得a?6.

∴B???A?C?5?. 12∴S?ABC?116?23?3acsinB??2?6??. 2242

5、1）根据正弦定理分）

sinA3sinB3ab??，得，所以sinB?，………（4?a2bb2sinAsinB又由角B为锐角，得B?（2）S?ABC??3；…………………………（6分）

313，所以ac?3，…………………………（8分） acsinB，又S?ABC?42根据余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得

a2?c2?b2?2accosB?7?3?10，…………………………（12分）

所以(a?c)2?a2?c2?2ac=16，从而a?c=4．…………………………（14分） 6、解：因为AB与地面所成的角的大小为60，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，

所以?ABH?60?,?ABM?60?.

?ABBMAM??,…………………………………………………………2分

sinMsinAsinBAB?BMsinM?sinAsinM?sin?B?M???∴ AMsinBsinBsinM?sinBcosM?cosBsinM1?cosB??sinM?cosM

sinBsinBB2cos22sinM?cosM?cotBsinM?cosM……………………………4分 ?sinB2?cot30sinM?cosM?3sinM?cosM?2sin(M?30).……………6分

∵

AB?BM达到最大值，

AM此时点M在BH延长线上，BH?HM处.……………………………………8分

??f()?2??a?3b?8?a?2?67、【解】 （1）由?得，?……2分，解得?……3分

3??a?2?b?23?f()?2??2当?M??B?60时，

? 将

a?2，

b?43代入

f(x)?as2xi?bsnxcixno得sf(x)?2sin2x?23sinxcosx

所以

f(x)?1?cos2x?3sin2x……4分

?1?2sin(2x??6)…………5分

2???…………6分 2所以函数

（2）由（1）得，ff(x)的最小正周期T?(x?t)?2sin[2(x?t)?????]?1，所以g(x)?2sin?2x?2t???1…66??8分

函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x，均有g(?x)?g(x)成立。

所以sin??2t?????????????…………10分 ?2x?sin2t??2x??????6?6?????整理得，cos?2t??????sinx?0……（﹡）………………12分 6???（﹡）式对于任意的实数x均成立，只有cos?2t?所以t?????2t??k??，解得， ?0?626?k???，k?Z…………14分 238、解：（1）由题设可知A?50，b?60， …………………… 2分

又T?2?2?3，所以???， …………………… 4分 ?3从而y?50sin(2?t??)?60， 32?t??)?60，得3再由题设知t?0时y?10，代入y?50sin(sin???1，从而???因此，y?60?50cos?2， …………………… 6分

2?t,(t?0). …………………… 8分 3（2）要使点P距离地面超过85米，则有y?60?50cos即cos2?t?85，……… 8分 32?12?2?2?4?t?? ，又0?t?2?,(t?0)解得?t?,(t?0)， 323333即1?t?2 …………………… 10分

所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85米的时间有1分钟.…… 14分 9、解：（1）b?2asinB ?sinB?2sinAsinB……………2分

?sinB?0?sinA?1 ……………4分 2由于a?b?c，?A为锐角，?A?222?6……………6分

（2）由余弦定理：a?b?c?2bccosA,

?4?12?c2?2?23?c?3，……………8分 2

c2?6c?8?0，c?2或c?4

由于a?b?c，c?4……………10分 所以S?1bcsinA?23……………12分 23310、解：（1）f(5?)?Asin(5???)?3，A??……………………..2’

12124222?A?3; ……………………..4’

（2）f(?)?f(??)?3sin(???)?3sin(????)?3，

442?3[2(sin??cos?)?2(?sin??cos?)]?3，……………………..6’

222?6cos??3，cos??6，……………………..8’

42?102又??(0,)，?sin??1?cos??， ……………………..10’

423f(???)?3sin(???)?3sin??30．……………………..12’

4411、（1）解：如图，作OH?AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

??AOB??6， …………2分

O?AB?2Rsin?12,OH?Rcos?12，

DECOE?DE?1?AB?Rsin 212M?????EH?OH?OE?R?cos?sin?1212?? …………4分

HABNS?AB?EH?2Rsin??????????R?cos?sin??R2?2sincos?2sin2? 12?1212?121212??? ?R2?sin???6?cos?3?12??1??R …………6分 6?2（2）设?AOB???0??? 则?AB?2Rsin????? …………7分 2??2,OH?Rcos?2，OE?1?AB?Rsin 22?????EH?OH?OE?Rcos?sin ?? …………9分

22??

S?AB?EH?2Rsin???????????R?cos?sin??R2?2sincos?2sin2? 2?22?222?? ?R2?sin??cos??1??R2?????2sin?????1? …………11分

4?????

???3????????0,?，?????,? …………12分

4442???? ????4??2即???4时， …………13分

Smax??T42?1R2，此时A在弧MN的四等分点处

?答：当A在弧MN的四等分点处时，Smax??2?1R2 …………14分

?12、解：（1）由已知条件，得A?2, ……………………………1分

6?2? 又∵当x??1时，有y?2sin(???)?2???……2分

63 ?2?),x?[?4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y?2sin(x?63?2?y)?1得 （2）由y?2sin(x?63B2Dkx?6k?(?1)?4(k?Z) …………2分

CPGQ又x?[?4,0]?k?0,x??3?G(?3,1)…2分

又∵?3,T?2???12,???? ……………………………2分

OG?10 ……………………1分

∴ 景观路GO长为10千米 ……………1分

(3)如图，OC?3,CD?1,?OD?2,?COD?F(- 4,0)-1OMP1Ex?6作PP1?x轴于P1中， PP1?OPsin??2sin? ……………1分 1点，在Rt?OPPOPOM在?OMP中， …………………1分 ?sin1200sin(600??)……………………………………1分

OP?sin(600??)4230∴OM???sin(60??)?2cos??sin? ……………1分

sin12003323S平行四边形OMPQ?OM?PP?(2cos??sin?)?2sin? …………………1分 13232343cos2???4sin?cos??sin2??2sin2?? 333?43?23?sin(2??)? ??(0,) …………………2分

3363

23 …………………1分

6263213、【解】（1）由条件得到3tan??8tan??3?0，………………2分

1解得tan??或者tan???3 ………………4分

3??????，?tan???3. ………………6分 2当2?????时，即???时：平行四边形面积最大值为

1?tan2?4? ………………2分+2分+2分=6分 （2）sin(2??)??cos2???221?tan?5?

23 …………………1分

6263213、【解】（1）由条件得到3tan??8tan??3?0，………………2分

1解得tan??或者tan???3 ………………4分

3??????，?tan???3. ………………6分 2当2?????时，即???时：平行四边形面积最大值为

1?tan2?4? ………………2分+2分+2分=6分 （2）sin(2??)??cos2???221?tan?5?

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