凸函数在数理经济学中的有效利用

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凸函数在数理经济学中的有效利用

作者：邵晶晶

来源：《财讯》2017年第06期

凸函数是数学函数的一类特征。对于函数的凸凹性在各种教材或者国内国外的定义是相反的。如中国经济学中的函数的凸凹性和数学教材中的凸凹性相反。对于有些教材把凸凹函数分为上凸函数和下凸函数。但是无论如何定义，凸函数在经济学很多方面得以应用。本文着重对凸函数在数理经济学中的应用问题进行了分析，为如何巧妙构建凸函数模型进行了很好的示范。

凸函数 数理经济学 应用问题

数理经济学是指运用数学方法，对经济学进行陈述和研究的一个经济学分支。数学在经济方面的应用，至今仍然在不断地尽享发展和探索。通过以微积分、集合论、线性模型的知识运用，使数理经济学在分析经济事务上取得一些成就。通过对凸函数的介绍和主要的函数性质，对数理经济学中的问题引入数学方法，使问题更加明朗化，从而直观的解决经济问题。本文根据凸函数的性质，引入对数理经济学的相关研究，建立数学模型，从而解决达到对相关的问题进行有效的数学分析。

凸函数定义：设f未定义在区间I上的函数，若I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2） ≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）则称f为I上的凸函数，简称为f在I区间凸。

在生产函数中的应用

生产函数是在目前的形势下，一个单一产品最大产出量和其所需要的材料之间投入量的关系。经济学中的定义为：给定投资下所能得到的最大产出量。生产函数一般分为：一种可变投入和多种可变投入。通常一种可变适用于短期生产，多种可变适用于长期生产。将生产函数用Q来表示，我们可以笼统的写为：Q=f（L，K，N，E）。其中L，K，N，E分别表示产量、投入劳动、资本、土地和企业家。其中最主要的因素是劳动和资本，因此公式也可以简化成：Q=f（L，K）。这就形成了有关生产的凸函数模型。

令总产量TP=Q，设平均产量AP边际产量MP，设Q=f（L，K）连续，则APL=Q/L，APK=Q/K，MPL=dQ/dL，MPK=dQ/dK。生产函数是一个凸函数，在d2Q≥0时，可导凸函数的导函数是单调递增的。在其他情况保持不变的情况下，由于新增一个单位的投入而多产生出来的产出，我们称之为边际产量（MP）。则dMP≤0也是可导的。那么这就能验证，随着资本和劳动的不断投入，中产量会呈现不断地减少的趋势。因此，我们也可以说，在目前固定的生产条件下，要想让企业出于经济增长的状态，应该加大对资本和劳动力的投入才可以获得比目前高的产出。

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