北师大版初中数学八年级上册勾股定理中考考点

勾股定理 中考考点

掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。 考点讲解

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c=a+b(c为斜边)。

222它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角

形的主要依据之一。

一、问题的提出：

D小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图： A1、 小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从

A到C，为什么？ 2、 为什么近、近多少？

CB3、用数学知识如何解答？

二、量一量，算一算：

1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

3cm6cm4cm

8cm2、进行有关的计算。 3、得出结论： 三、证明结论：

利用拼合三角形的方法，如下：（1）

b a a b c a c c b a a a b a b c b c b b c a a b a b （1） （2） 由（1）S ?4?ab??c2ab?c正

1222?ab??2ab 由（2）S 正 ? 2ab?c?a?b?2ab222 ? a?b?c

（2）如图：

22222S正?c2S正?4S??S小正

1ab?(b?a)2 2?2ab?b2?a2?2ab?4??a2?b2?c2?a2?b2练习： 1、判断：

c a b a

c b b c b a a

c

（1）已知a、b、c是三角形的三边，则? （ ） a?b?c （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）

222?B?90 ?a?b?c （3）在R （ ） tA?BC?222C?902、填空：在R中，? tA?BC（1）如果a=3，b=4，则c=

（2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c=

?3、 解决新课开始提出的问题 中考考点

1．把握勾股定理的逆定理；

2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

考点讲解

21．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：

22a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定

定理。

1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）首先求出最大边（如c）；

（2）验证a+b与c是否具有相等关系；

22222 若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。 若c2 ≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。

2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；

3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、

12、13；6、8、10；12、16、20等。

四、典型例题

例1. 在R中，?，C于D，求证： C?90tA?BCD?AB （1）A B?AD?DB?2CD （2）C D?AD?DB

22222?ABCA、?DCBCD 分析：在图中有?与?三个直角三

角形，利用勾股定理可以求证。 证明：

C A D B （1）? AB?AC?BC，AC?AD?CD，BC?BD?CD222222222222?AB?AC?BC

2222 ?AD?CD?BD?CD222?AD?DB?2CD （2）又? AB?AD?DB ? AB?(AD?DB)?AD?DB?2AD?DB

22222?AD?DB?2CD?AD?DB?2AD?DB2222?2CD?2AD?DB22

即C D?AD?DB 例2、 已知?中，A，求AC边上的高线的B?5cm，BC?12cm，AC?13cmABC长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。 解：

B 12 5 C 13 D A 222?AB?25，BC?144，AC?169，?25?144?169 ? AB?BC?AC ?为R，且? B?90?ABCt? 作B于D D?AC 设A，则C D?xD?13?x22222?BD?BC?CD?AB?AD222?12?(13?x)?25?x ?25??x13222

?BD2?AB2?AD225?25?()2

1360?1360cm。 13 例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点， 求证：AB2－AD2=BD·DC

思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。 由AB=AC?BE=EC

结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾

股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得 AB2=AE2+BE2 2222

AB－AD=BE－DE ?222

AD=AE+DE

由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE) 结合图形知：BE+DE=BD ?AB2－AD2=BD·CD BE－DE=CE－DE=CD

例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求

AC2=AB2+BC2=32+42=25

在△CAD中，我们又可发现： AC2+AD2=25+122=169 DC2=132=169

∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°

此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

答：AC边上的高线长为

11?AB?BC?AC?AD2211??3?4??5?12 22?6?30?36(平方单位)

例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且

1EC = BC, 求证: ?EFA = 90?

4 分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt?, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。 证明: 设正方形ABCD的边长为4a 则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a

2222E?AB?BE?4a?3a?25a在Rt?ABE中A ????2222F?AD?DF?4a?2a?20a在Rt?ADF中A ????22222F?FC?EC?2a?a?5a在Rt?ECF中E ??222由上述结果可得A E?AF?EF由勾股定理逆定理可知?AEF为Rt?, 且AE是最大边, 即?AFE = 90?

22222

例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，

1EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。

5 思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有 EF2=AE2+AF2

设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①

1又S?AEF?S五边形EBCDF51?S?AEF?S正方形611?xy??12226即2xy?96①?②:x2?2xy?y2?196??①?②:(x?y)2?196x?y?14或?14x2?2xy?y2?4②?(x?y)2?4?x?y?2或?2解得:x?8,y?6或x?6,y?8 即AE?8,AF?6或AE?6,AF?8 本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.

五、专题检测：

1、如图在?ABC中, ?BAC = 90?, AD?BC于D, 则图中互余的角有 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为 3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：A。 B?CD?AD?BC

4. 已知：钝角?，CD垂直BA延长线于D，求证： BAC222BC?AB?AC?2AB?AD。

2222

D C O A B D A

B C 5. 已知：A，且A，D在BC上，求证：B?ACB?AC A B D C

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