2017年安徽省合肥市滨湖区寿春中学中考数学一模试卷

2017年安徽省合肥市滨湖区寿春中学中考数学一模试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．（4分）在0、﹣3、1、4这四个数中，最小的数是（ ） A．0

B．﹣3 C．1

D．4

2．（4分）在2017﹣2019年三年建设计划，合肥市大建设涉及八大类工程，安排项目总计2399个，项目总投资4626亿元，用科学记数法表示“4626亿”是（ ） A．4626×108 B．4626×109 C．4.626×1010 D．4.626×1011 3．（4分）下列计算正确的是（ ）

A．a3﹣a2 B．（ab3）2=a2b5 C．3a2?a﹣1=3a D．a6÷a2=a3

4．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

5．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

6．（4分）不等式组A．

D．

B．

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

C

．

7．（4分）2013年安庆市体育考试跳绳项目为学生选考项目，下表是某班模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟），则关于这10名同学每分钟跳绳的

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测试成绩，下列说法错误的是（ ） 成绩（个/分钟） 人数 1 1 1 2 3 2 140 160 169 170 177 180 A．众数是177 B．平均数是170 C．中位数是173.5 D．方差是135

8．（4分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°

9．（4分）在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（4分）如图（如图1所示）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，沿斜边AB的中线CD把这个三角形剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将△AC1D1沿直线D2B方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，平移停止．设平移距离D1D2为x，△AC1D1和△BC2D2的重叠部分面积为y，在y与x的函数图象大致是（ ）

第2页（共29页）

A． B． C．

D．

二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：2a2﹣8a+8= ．

12．（3分）将直线y=4x+1向下平移3个单位长度，得到直线解析式为 ． 13．（3分）如图，⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，若BC=2度为 ．

，则弧AC的长

14．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为点D，交AB于点E，且AD=AC，EC交AD于点F，下列说法：

①△ABC∽△FDC；②点F是线段AD的中点；③S△AEF：S△AFC=1：4；④若CE平分∠ACD，则∠B=30°，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．

第3页（共29页）

三、解答题（共55分） 15．计算：（﹣1）2017+16．先化简，再求值：（入求值．

四、（每小题8分，共16分）

17．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

（2）以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出△A2B2C2．使写出A2、B2、C2的坐标．

=，并

+|﹣

）

|﹣2sin45°．

，x在1、2、﹣3中选取合适的数代

18．（8分）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题： 操作次数 正方形个数 1 4 2 7 3 4 … … （1）如果剪100次，共能得到 个正方形；

（2）如果剪n次共能得到bn个正方形，试用含有n、bn的等式表示它们之间的

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数量关系 ；

（3）若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an ；

（4）试猜想a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an与原正方形边长的数量关系，并用等式写出这个关系 ．

五、（每小题10分，共20分）

19．（10分）随着近几年我市私家车日益增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点P，在笔直的车道m上确定点O，使PO和m垂直，测得PO的长等于21米，在m上的同侧取点A、B，使∠PAO=30°，∠PBO=60°． （1）求A、B之间的路程（保留根号）；

（2）已知本路段对校车限速为12米/秒若测得某校车从A到B用了2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．

20．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式为两人对抗赛，即把四种比赛项目写在4张完全相同的卡片上，比赛时，比赛的两人从中随机抽取1张卡片作为自己的比赛项目（不放回，且每人只能抽取一次）比赛时，小红和小明分到一组．（1）小明先抽取，那么小明抽到唐诗的概率是多少？ （2）小红擅长唐诗，小红想：“小明先抽取，我后抽取”抽到唐诗的概率是不同的，且小明抽到唐诗的概率更大，若小红后抽取，小红抽中唐诗的概率是多少？小红的想法对吗？

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21．如图，在直角坐标系平面内，函数y=（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4）、B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AD，AB，DC，CB． （1）求反比例函数解析式；

（2）当△ABD的面积为S，试用a的代数式表示求S．

（3）当△ABD的面积为2时，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

22．如图△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连AD、BE

，

F

为

线

段

AD

的

中

点

，

连

CF．

（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是 ．

（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由．

（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立请证明，如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

23．中国高铁迅猛发展，给我们的出行带来极大的便捷，如图1，是某种新设计动车车头的纵截面一部分，曲线OBA是一开口向左，对称轴正好是水平线OC的

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抛物线的一部分，点A、B是车头玻璃罩的最高点和最低点，AC、BD是两点到车厢底部的距离，OD=1.5米，BD=1.5米，AC=3米，请你利用所学的函数知识解决以下问题．

（1）为了方便研究问题，需要把曲线OBA绕点O旋转转化为我们熟悉的函数，请你在所给的方框内，画出你旋转后函数图象的草图，在图中标出点O、A、B、C、D对应的位置，并求你所画的函数的解析式．

（2）如图2，驾驶员座椅安装在水平线OC上一点P处，实验表明：当PA+PB最小时，驾驶员驾驶时视野最佳，为了达到最佳视野，求OP的长．

（3）驾驶员头顶到玻璃罩的高度至少为0.3米才感到压抑，一个驾驶员坐下时头顶到椅面的距离为1米，在（2）的情况下，座椅最多条件到多少时他才感到舒适？

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2017年安徽省合肥市滨湖区寿春中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．（4分）在0、﹣3、1、4这四个数中，最小的数是（ ） A．0

B．﹣3 C．1

D．4

【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数进行分析即可．

【解答】解：在0、﹣3、1、4这四个数中，最小的数是﹣3， 故选：B．

【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数的比较大小的法则．

2．（4分）在2017﹣2019年三年建设计划，合肥市大建设涉及八大类工程，安排项目总计2399个，项目总投资4626亿元，用科学记数法表示“4626亿”是（ ） A．4626×108 B．4626×109 C．4.626×1010 D．4.626×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：用科学记数法表示“4626亿”是4.626×1011， 故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）下列计算正确的是（ ）

A．a3﹣a2 B．（ab3）2=a2b5 C．3a2?a﹣1=3a D．a6÷a2=a3

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和单项式除法运算法则计算得出答案．

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【解答】解：A、a3﹣a2，无法计算，故此选项错误； B、（ab3）2=a2b6，故此选项错误； C、3a2?a﹣1=3a，正确； D、a6÷a2=a4，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式和单项式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

4．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°． 故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

5．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）

第9页（共29页）

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致． 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

6．（4分）不等式组A．

D．

B．

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

C

．

【分析】首先解不等式组的每个不等式，然后根据不等式的表示法即可判断． 【解答】解：解①得x≤1， 解②得x＞﹣3． 故选：D．

【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

7．（4分）2013年安庆市体育考试跳绳项目为学生选考项目，下表是某班模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟），则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是（ ） 成绩（个/分钟） 第10页（共29页）

，

140 160 169 170 177 180

人数 1 1 1 2 3 2 A．众数是177 B．平均数是170 C．中位数是173.5 D．方差是135

【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【解答】解：A、这组数据中177出现次数最多，即众数为177，此选项正确； B、这组数据的平均数是：（140+160+169+170×2+177×3+180×2）÷10=170，此选项正确； C、∵共有10个数，

∴中位数是第5个和6个数的平均数，

∴中位数是（170+177）÷2=173.5；此选项正确； D、方差=

[（140﹣170）2+（160﹣170）2+（169﹣170）2+2×（170﹣170）2+3

×（177﹣170）2+2×（180﹣170）2]=134.8；此选项错误； 故选：D．

【点评】本题主要考查方差、中位数、平均数、众数等，熟练掌握中位数、众数及平均数、方差等定义是解题的关键．

8．（4分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD=90°，再由圆周角定理求出∠COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，点C是切点， ∴∠OCD=90°．

第11页（共29页）

∵∠BAC=25°， ∴∠COD=50°，

∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°． 故选：D．

【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．

9．（4分）在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】分为两种情况：①当∠A为顶角时，②当∠A为底角时，画出图形，即可得出选项．

【解答】解：有两种情况：

①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．

②当∠A为底角时，如图2，此时AE=EF=5cm．

第12页（共29页）

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．

10．（4分）如图（如图1所示）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，沿斜边AB的中线CD把这个三角形剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将△AC1D1沿直线D2B方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，平移停止．设平移距离D1D2为x，△AC1D1和△BC2D2的重叠部分面积为y，在y与x的函数图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

【分析】过C作CH⊥AB于H，解直角三角形得到CH=2△BED1的BD1边上的高为h，求得h=

，sin∠ED1B==．设

，由三角形的面积公式就可以求

第13页（共29页）

出结论．

【解答】解：如图3，当0≤x≤4时， ∵D2D1=x

∴D1E=BD1=D2F=AD2=4﹣x， ∴C2F=C1E=x．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4， ∴∠B=60°，

过C作CH⊥AB于H， ∴CH=2

，

，

∵在△ABC中，sin∠CDB=∴sin∠ED1B=

=

．

设△BED1的BD1边上的高为h， ∴h=

，

（4﹣x）2．

∴S△BD1E=×BD1×h=∵∠C1+∠C2=90°， ∴∠FPC2=90°． ∵∠C2=∠B， ∴sin∠B=

，cos∠B=，

x，

x2

（4﹣x）﹣

（4﹣x）2﹣

x2=﹣

x2+

x

∴PC2=x，PF=∴S△FC2P=PC2?PF=

∴y=S△D2C2B﹣S△BD1E﹣S△FC2P=∴y=﹣

x2+

x．

∴y与x的函数图象大致是C选项， 故选：C．

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【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的运用，直角三角形的性质的运用，三角形面积公式的运用，三角函数的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）分解因式：2a2﹣8a+8= 2（a﹣2）2 ．

【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：2a2﹣8a+8 =2（a2﹣4a+4） =2（a﹣2）2．

故答案为：2（a﹣2）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．

12．（3分）将直线y=4x+1向下平移3个单位长度，得到直线解析式为 y=4x﹣2 ． 【分析】根据平移后解析式的规律“左加右减，上加下减”进行求解．

【解答】解：将直线y=4x+1向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为y=4x+1﹣3， 即y=4x﹣2． 故答案为y=4x﹣2．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位的解析式为y=kx+b+m；直线y=kx+b向右平移n（n＞0）个单位的解析式为y=k（x﹣n）+b．

13．（3分）如图，⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，若BC=2

第15页（共29页）

，则弧AC的长

度为 π ．

【分析】在Rt△OBC中，根据BC垂直平分AO可得CD=BC=那么OC=

=2，继而代入弧长的计算公式即可．

，∠AOC=60°，

【解答】解：如图，设BC⊥OA于D． ∵BC垂直平分半径AO， ∴OD=OA=OC，CD=BC=∴∠OCD=30°，∠AOC=60°， ∴OC=

=2，

=π．

，

∴弧AC的长度为故答案为π．

【点评】本题考查了弧长的计算，垂径定理，解直角三角形．属于基础题，解答本题的关键是利用含30°角的直角三角形的性质得出∠OCD=30°以及利用垂径定理得出CD=

14．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为点D，交AB于点E，且AD=AC，EC交AD于点F，下列说法：

①△ABC∽△FDC；②点F是线段AD的中点；③S△AEF：S△AFC=1：4；④若CE平分∠ACD，则∠B=30°，其中正确的结论有 ①②④ （填写所有正确结论的序号）．

，难度一般．

第16页（共29页）

【分析】依据∠FDC=∠ACB，∠B=∠ECB，即可得到△ABC∽△FCD；依据△ABC∽△FCD，即可得出

，进而得到DF=AC=AD；过F作FG∥BC交AB

于G，根据平行线分线段成比例定理即可得到EF：FC=1：3，进而得到S△AEF：S△

AFC=1：3；设∠ACE=∠BCE=∠B=α，依据△ABC

中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°，可

得α+（a+2α）+2α=180°，进而得到α=30°，即∠B=30°． 【解答】解：∵AD=AC， ∴∠FDC=∠ACB， ∵DE垂直平分BC， ∴EB=EC， ∴∠B=∠ECB，

∴△ABC∽△FCD，故①正确； ∵△ABC∽△FCD， ∴

，

∴DF=AC=AD，故②正确； 如图，过F作FG∥BC交AB于G，则

∵F是AD的中点， ∴

，

∴GF=BD=BC， ∵GF∥BC，

第17页（共29页）

∴，

∴EF=EC，即EF=CF， ∴EF：FC=1：3，

∴S△AEF：S△AFC=1：3，故③错误； ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠BCE=∠B，

设∠ACE=∠BCE=∠B=α，则∠ACD=2α=∠ADC， ∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=α， ∴∠B=∠BAD， ∴BD=AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA=2α，

∵△ABC中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°， ∴α+（a+2α）+2α=180°，

∴α=30°，即∠B=30°，故④正确； 故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．

三、解答题（共55分） 15．计算：（﹣1）2017+

+|﹣

|﹣2sin45°．

【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=﹣1+9+=8+=8．

【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性

第18页（共29页）

﹣2×

﹣

质等知识，正确化简各数是解题关键．

16．先化简，再求值：（入求值．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式==

），x在1、2、﹣3中选取合适的数代

?

当x=2时， 原式==

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

四、（每小题8分，共16分）

17．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

（2）以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出△A2B2C2．使写出A2、B2、C2的坐标．

=，并

【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案；

第19页（共29页）

（2）根据关于原点对称点的坐标以及使答案．

=，得出对应点乘以﹣2即可得出

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； ∵

=，A（1，3），B（4，2），C（2，1），

∴A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣4），C2（﹣4，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及关于x轴对称图形画法，根据已知得出对应点坐标是解题关键．

18．（8分）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题： 操作次数 正方形个数 1 4 2 7 3 4 … … 10 13 （1）如果剪100次，共能得到 301 个正方形；

（2）如果剪n次共能得到bn个正方形，试用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系 bn=3n+1 ；

（3）若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an =

；

第20页（共29页）

∴BE=2CF， 故答案为BE=2CF；

（2）（1）中的关系是仍然成立， 理由：∵点F是AD中点， ∴AD=2DF，

∴AC=AD+CD=2DF+CD，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∴BC=2DF+CE，

∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE）， ∵CF=DF+CD=DF+CD， ∴BE=2CF；

（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，

延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF， ∵点F是AD中点， ∴AF=DF，

在△CDF和△GAF中，∴△CDF≌△GAF，

∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，

∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD， ∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD， ∴∠CAG=∠BCE， 连接BE，

，

第26页（共29页）

在△BCE和△ACG中，∴△BCE≌△ACG， ∴BE=AG=2CF， 即：BE=2CF．

，

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出（1）AD=BE，（2）BE=2（DF+CE），（3）∠CAG=∠BCE．

23．中国高铁迅猛发展，给我们的出行带来极大的便捷，如图1，是某种新设计动车车头的纵截面一部分，曲线OBA是一开口向左，对称轴正好是水平线OC的抛物线的一部分，点A、B是车头玻璃罩的最高点和最低点，AC、BD是两点到车厢底部的距离，OD=1.5米，BD=1.5米，AC=3米，请你利用所学的函数知识解决以下问题．

（1）为了方便研究问题，需要把曲线OBA绕点O旋转转化为我们熟悉的函数，请你在所给的方框内，画出你旋转后函数图象的草图，在图中标出点O、A、B、C、D对应的位置，并求你所画的函数的解析式．

（2）如图2，驾驶员座椅安装在水平线OC上一点P处，实验表明：当PA+PB最小时，驾驶员驾驶时视野最佳，为了达到最佳视野，求OP的长．

（3）驾驶员头顶到玻璃罩的高度至少为0.3米才感到压抑，一个驾驶员坐下时头顶到椅面的距离为1米，在（2）的情况下，座椅最多条件到多少时他才感到舒适？

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【分析】（1）将曲线OBA绕点O逆时针旋转90°，可得到函数的图象，设观察函数图象可知该函数是一个二次函数，设y=ax2，将点B的坐标代入求解即可； （2）作点A关于OC的对称点A′，连结BA′交OC与点P，先由（1）中函数解析式求得OC的长，然后证明△CA′P∽△DBP，依据相似三角形的性质可求得PD的长，从而可得到OC的长；

（3）将y=3代入（1）中函数关系式可求得此时的横坐标，从而可得到点P到玻璃罩的高度，然后可求得座椅的最大高度．

【解答】解：（1）将曲线OBA绕点O逆时针旋转90°如图所示：则B（﹣1.5，1.5）．

设所画函数的解析式为y=ax2，将点B的坐标代入得：a=，解得：a=． ∴函数的解析式为y=x2．（x≤0）

（2）如下图所示：作点A关于OC的对称点A′，连结BA′交OC与点P．

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由（1）可知OC=×32=6，则DC=OC﹣OD=4.5． ∵BD∥CA， ∴△CA′P∽△DBP． ∴

=

．

设DP=x，则PC=4.5﹣x． ∴

=

，解得：x=1.5．

∴DP=1.5． ∴OP=OD+DP=3．

（3）将y=3代入y=x2（x≤0），得：x2=3，解得：x=﹣∴点P到玻璃罩的高度=∵2.1﹣0.3﹣1=0.8．

∴座椅最多调节得到0.8米时，他才感到舒适．

【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了二次函数的性质，相似三角形的性质、待定系数法求二次函数的解析式，依据相似三角形的性质求得PD的长是解题的关键．

≈2.1．

或x=

（舍去）．

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