山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题

专题24 特殊平行四边形的存在性

破解策略

在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形

因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解

例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C， P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．

解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形． 令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4， 所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）．

因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1． ①若AC是矩形的一条边，如图，

则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）． 同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）． 因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2， 解得a1??77267） ,a2?(舍去)，此时点P的坐标为（1，?777

②若AC是矩形的一条对角线，如图．

则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）． 同样yA＋yC＝yP＋yQ，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）． 因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2， 算得a3??11,a4?(舍)，所以此时点P的坐标为（1，－4） 22综上可得，以点A，C，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，?或（1，－4）．

267）7例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒． （1）菱形ABCD的边长是_____，面积是_____，高BE的长是_____;

（2）若点P的速度为每秒1个单位．点Q的速度为每秒k个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．

解：（1）5，24，4．8．

（2）要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ为等腰三角形即可．当t＝4时，AP＝4．

①如图，当点Q在线段BC上时，PQ≥BE＞AP，同理，AQ＞AP，所以只存在QA＝QP的等腰三角形．

过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点F，则AH＝PH＝易证：△AFH∽△CFQ∽△ADO， 所以FH=FQ=DO=3

AHCQAO41AP＝2 233322可得FH=,FQ=,CQ=

2105从而k＝

CQ11= 410②当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：

（i）如图1，当AP＝AQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQ＝PD＝1 所以，k＝

CB+BQ3= 42（ⅱ）如图3，当PA＝PQ时，过点P作PH⊥AB于点H． 易证△AHP∽△AEB，所以所以AH＝

AHAP7，其中AE＝AB2?BE2?. ?5AEAB2856CB?BQ97，AQ＝2AH＝，所以k＝． ?2525450（ⅲ）由①可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQ＝PQ这种情况．

综上所得，满足条件的k值为

31197，，． 21050yPEAHQBOCDx

例3 如图，二次函数y?12x?x?c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴212x?x?c使得四边形AMBM′为正方形？若存在，2的对称点是M′．问：是否存在抛物线y?请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

yM′xAOBM

解：存在

易得AMBM’是菱彤，所以当AB＝MM′时，四边彤AMBM′是正方形 设点A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0）． 1 令x2?x?c?0

2 所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2c 所以AB＝?x1?x2?2?4x1x2＝4?8c.

4ac?b22c?1点M的纵坐标为?.

4a2 若四边形AMBM’为正方形， 则有4?8c?2?2c?1． 213 解得c1?,c2??.

22 又因为已知抛物线与x轴有两个交点，

12 所以??b2?4ac???1??4?c?0.

2 解得c＜

1， 23 所以c的值为?.．

2 所以存在抛物线y?进阶训练

123x?x?，使得四边彤AMBM'为正方形． 221．已知抛物线C1： y＝－2x＋8x－6与抛物线C关于原点对称，抛物线C2与x轴分别交于点A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧）顶点为N． （1）求抛物线C2的表达式；

（2）若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1 个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t（秒）的值；若不能，请说明理由． 解：（1）抛物线C2的表达式为y?2x2?8x?6 （2）能．1＝ [提示]

（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C'N'B'M'为平行四边形．

所以当∠B'M'C'＝90 或B'C'＝M'N'时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t．

27252．如图，抛物线y?(x?)2?与x轴的右交点为A，与y 轴的交点为B，设E（x，y）

3262

是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形． （1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF是否为菱形；

（2）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？ 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

yBFxOAE

解：（1）当点E的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF是菱形;

（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF是正方形，则OA⊥EF且OA＝EF．此时的点E不在抛物线上．

3．如图，抛物线经过原点O与x轴上一点A（4，0），抛物线的顶点为E，它的对称轴x轴交于点D，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），与抛物线的对称轴交于点F． （1）求抛物线的表达式；

（2）Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M的运动时间为t 秒，是否能使以Q，A，E， M四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M的运动时间；若不能，请说明理由．

yBDOxAEF

解：（1）抛物线的表达式为y?12x?x； 413． 2 （2）能，t的值为4?5，6，4?5或

[提示]（2）如图，点M的运动过程中，以Q，A，E，M为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t的值．

yBFxOAE

解：（1）当点E的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF是菱形;

（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF是正方形，则OA⊥EF且OA＝EF．此时的点E不在抛物线上．

3．如图，抛物线经过原点O与x轴上一点A（4，0），抛物线的顶点为E，它的对称轴x轴交于点D，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），与抛物线的对称轴交于点F． （1）求抛物线的表达式；

（2）Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M的运动时间为t 秒，是否能使以Q，A，E， M四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M的运动时间；若不能，请说明理由．

yBDOxAEF

解：（1）抛物线的表达式为y?12x?x； 413． 2 （2）能，t的值为4?5，6，4?5或

[提示]（2）如图，点M的运动过程中，以Q，A，E，M为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t的值．

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