专题16 对角互补模型
破解策略 1．全等型之“90°”
如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则
ADCOEB
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝2OC； （3）S?OCD?S?OCE?1OC2． 2证明 方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．
由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°． 所以∠MCD＝∠NCE， 从而△MCD≌△NCE（ASA）， 故CD＝CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝2OC． 所以S?OCD?S?OCE?S正方形MONCAMDCEONB1?ON?OC2．
22方法二：如图，过C作CF⊥OC，交OB于点F．
易证∠DOC＝∠EFC＝45°，CO＝CF，∠DCO＝∠ECF． 所以△DCO≌△ECF（ASA）
ADC所以CD＝CE，OD＝FE，
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：
可得OD＋OE＝OF＝2OC． 所以S?OCD?S?OCE?S?OCF1?OC2． 2OEFBACBEOD
（1）CD＝CE；
（2）OE－OD＝2OC； （3）S?OCE?S?OCD?如图，证明同上．
AMODCBNEACBFE1OC2． 2OD
2．全等型之“120”
如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则：
CADEOB
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC； （3）S?OCD?S?OCE?3OC2． 4证明 方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N． 所以S?OCD?S?OCE?2S?ONC?易证△MCD≌△NCE（ASA）， 所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．
3OC2 4CAMDONEBADOCEFB
方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形． 易证△DCO≌△ECF（ASA）． 所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC， ∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝
3OC 2 4【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则： （1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝如图，证明同上．
ADCE3OC 2 4ADMECADCE
OB
ONB
OFB
3、全等型之“任意角”
如图，∠AOB＝2?，∠DCE＝180°－2?，OC平分∠AOB，则：
（1）CD＝CE；（ 2）OD＋OE＝2OC·cos?；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC 2·sin?cos?
ADCBOE
证明：方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足
MDOA分别为M，N
C
NEB
易证△MCD≌△NCE（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos? ∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC 2·sin?cos?
方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝180°－2?，交OB于点F．
ADCBOEF
易证△DCO≌△ECF（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos? ∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sin?cos?
【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cos?；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sin?cos? 如图，证明同上
DADAMDACEOCB
EONB
EOCFB
4、相似性之“90°”
如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝?，则CE＝CD·tan?
ADCOEB
方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N
ADMOCEN
易证△MCD∽△NCE，∴
NECECN???tan?，即CE＝CD·tan? MDCDCM方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．
ADCB
OEF
易证△DCO∽△ECF，∴
FECECF???tan?，即CE＝CD·tan? ODCDCO方法三：如图，连接DE．
ADCOEB
易证D、O、E、C四点共圆
∴∠CDE＝∠COE＝?，故CE＝CD·tan?
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE＝CD·tan?
ACBOED 如图，证明同上．
AMODACBACB
ODCBNEO
FEDE
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？ （2）如图2，若∠BAC＝?，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
DDBCOCOBA
图1
A图2
解：（1）BD＋CD＝3AD
DOACF图3BE
如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F． 由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD＋CD＝2DE＝3AD ⑵BD＋CD＝2AD
sin
?2．
如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．
D B E F O C
A 图4
AMODACBACB
ODCBNEO
FEDE
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？ （2）如图2，若∠BAC＝?，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
DDBCOCOBA
图1
A图2
解：（1）BD＋CD＝3AD
DOACF图3BE
如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F． 由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD＋CD＝2DE＝3AD ⑵BD＋CD＝2AD
sin
?2．
如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．
D B E F O C
A 图4
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