14．y＝－2x－3 解析：∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2，∴A(－1，0)，B(3，0)．∵抛物线过点A，B，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．又∵抛物线过点D(0，－3)，∴－3＝a·1·(－3)，∴a＝1，∴y＝x2－2x－3.∵经过点D的“蛋圆”切线过D(0，－3)点，∴设它的解析式为y＝kx－3.又∵抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝kx－3相切，∴x2－2x－3＝kx－3，即x2－(2＋k)x＝0只有一个解，∴Δ＝(2＋k)2－4×0＝0，解得k＝－2.∴经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为y＝－2x－3.
15．解：(1)连接OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°.在Rt△OCP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；
(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，∵∠EAO＝10°，1∴∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°，∴∠P＝∠ACD－∠CAB＝40°－
210°＝30°.
︵︵︵
16．解：(1)DE与⊙O相切．证明如下：连接OD，AD.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴∠DAO＝∠DAC.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；
︵︵︵
(2)连接BC交OD于点H，延长DF交⊙O于G.由垂径定理可得OH⊥BC，BG＝BD＝DC，︵︵∴DG＝BC，∴DG＝BC，∴弦心距OH＝OF＝4.∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC＝2OH＝8.
方法点拨：本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．
17．(1)证明：∵AD，AE是⊙O的切线，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
(2)解：连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE，DG.设⊙O的半径为r.∵四边形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°，∴DG是⊙O的直径．∵⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC.∵OD＝OE，∴AN平分∠BAC.∵AB＝AC，∴AN⊥BC，1
BN＝BC＝6.在Rt△ABN中，AN＝AB2－BN2＝102－62＝8.∵OD⊥AB，AN⊥BC，
2∴∠ADO＝∠ANB＝90°.∵∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴
ODADrAD
＝，即＝，BNAN68
44
∴AD＝r，∴BD＝AB－AD＝10－r.∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°.又∵∠B＝∠B，
334
10－r32rBDGD60
∴△GBD∽△ABN，∴＝，即＝，∴r＝，∴四边形DFGE是矩形时⊙O的
BNAN6817
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60半径为.
17
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