初中数学辅导2013中考总结复习冲刺专题：动态几何问题(2)

y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

A

M D

60° B

P

Q

C

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必

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说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? AD中点

∵M是∴∵

AM?MD

AD∥BC

?∠MBC?60?，∴∠AMB∠DMC?∠MCB?60?

∴△AMB≌△DMC ∴

AB?DC

ABCD是等腰梯形．

?MC?BC?4，∠MBC?∠MCB?60?，∴梯形

（2）解：在等边△MBC中，MB∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM∴∠BMP?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

?∠QPC

∴△BMP∽△CQP ∴

PCCQ?BMBP

∵PC∴

?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y

x4?y12 ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) ?44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： ∵

△PQC为直角三角形

y?12?x?2??3 4∴当

y取最小值时，x?PC?2

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∴P是BC的中点，MP∴∠CPQ∴∠PQC

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】2012，门头沟，一模

而∠MPQ?60?，?BC，?30?， ?90?

CG． 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

CG，（2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

ADGEAGEDAFDEFB

B图1FCB图2 CC图3【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG?EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．

证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中，

?ADG??CDG，DG?DG， ∵AD?CD，∴?DAG≌?DCG．

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∴AG?CG． 在?DMG与?FNG中，

FG?DG，?MDG??NFG， ∵?DGM??FGN，∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG

在矩形AENM中，AM?EN 在Rt?AMG与Rt?ENG中，

MG?NG， ∵AM?EN，∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG

AMGDEFNC

B图2 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

AGEFD

B图3【例5】（2012，朝阳，一模）

C已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

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