2017回归课本学习辅导材料4.doc

第四部分 三角函数、三角恒等变换

1．弧长公式： ；扇形面积公式：S?12lR?122|?|R.

?弧度?180?，1?? 弧度，1弧度?(180?)??57?18\'

2．三角函数定义：角?中边上任意一点P为(x,y)，设|OP|?r则：

sin??,cos?? tan??yx y 三角函数符号规律：

“一全正，二正弦，三两切，四余弦” B S T 3．三角函数线的特征是： P 正弦线

α O M A x “站在x轴上(起点在x轴上)”、 余弦线 “躺在x轴上 (起点是原点)”、

正切线 “站在点A(1,0)处(起点是A)”. 4.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 90° 180° sin? cos? tan? 5．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； sin(－α)= ； sin(π－α)= ； sin(π+α)= ； sin(2π－α)= ； sin(2π+α)= ； sin(π2－α)= ；sin(π2+α)= ；

sin(3π2－α)= ； sin(3π2+α)= ； cos(－α)= ；cos(π－α)= ； cos(π+α)= ； cos(2π－α)= ； cos(2π+α)= ；cos(π2－α)= ；cos(π2+α)= ；

cos(3π2－α)= ； cos(3π2+α)= ；

tan(－α)= ；tan(π－α)= ； tan(π+α)= ；

tan(2π－α)= ； tan(2π+α)= ；

tan(π2－α)= ；tan(π2+α)= ；

tan(3π2－α)= ； tan(3π2+α)= ； 诱导公式（k2???）可简记为：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．. ．其中奇．是指 .偶．是指 . 变．是指 .看符号时要将．．α（不论具体是多少度）一律视为锐角．．．．．．．．．．．．．．．．. 6．同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系： ； （2）倒数关系 （3）商数关系： 7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)=

cos(α±β)= .

tan(α±β)= .

sin(2α)= . tan(2α)= .

cos(2α)= = = . 注意：辅助角公式：

asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(tan??ba) 9．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是： “一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式结构特点。 （1）巧变角：如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，

2??(???)?(???)，????2????????2，2????2????2???等；

(2)三角函数名互化(切割化弦)； (3)三角函数次数的降升：

降幂公式：cos2?? ，sin2??

与升幂公式：1?cos2?? ，1?cos2?? (4) 常值变换主要指“1”的变换

（1?sin2x?cos2x?sec2x?tan2x?tanx?cotx

(5)正余弦“三姊妹—sinx?cosx、 sinxcosx” sinx?cosx?a, sinxcosx?

sinx?cosx?a, sinxcosx? sinxcosx?b,sinx?cosx?

10、正余弦函数y?sinx(x?R)、y?cosx(x?R)的性质： （1）定义域：R。 （2）值域：都是??1,1?，

对y?sinx，当x? ?k?Z?时，y取最大值1； 当x? ?k?Z?时，y取最小值－1；

对y?cosx，当x? ?k?Z?时，y取最大值1， 当x? ?k?Z?时，y取最小值－1。

（3）周期性：

①y?sinx、y?cosx的最小正周期都是

②f(x)?Asin(?x??)和f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是

T? 。

（4）奇偶性与对称性：

正弦函数y?sinx(x?R)是 函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ?k?Z?；

余弦函数y?cosx(x?R)是 函数，对称中心是

?k?Z?，对称轴是直线 （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。 （5）单调性：y?sinx在 上单调递增，在 单调递减；

y?cosx在 上单调递减，在 上单调递增。提醒，别忘了k?Z！在整个定义域上不具有单调性，也不能说在第几象限内单调。 11、形如y?Asin(?x??)的函数： （1）几个物理量：A―振幅；f?1T―频率（周期的倒数）； ?x??―相位；?―初相；

（2）函数y?Asin(?x??)表达式的确定：

A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定

（3）函数y?Asin(?x??)图象的画法：

①“五点法”――设X??x??，令X＝0，

?2,?,3?2,2?求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；

②图象变换法：

(1)将y=sinx图象上的点沿x轴向 (φ>0)或向 (φ<0)ft?π?f?t?π．记g(x)?Acos(?x??)?1，则g(π)?

333????18.已知函数f(x)?sin2x?cos2x?1

2sinx平移 个单位，得到函数 的图象，再将横坐标伸?1?5. 已知sin(??)?，则sin(?2?)?

长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，最后将646纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到y=Asin(ωx+φ)简图. ??6. 设函数f(x)?2sin(x?)，若对任意x?R都有

(2)将y=sinx图象上点的横坐标伸长（或缩短）到原来的 25倍，到函数 的图象，再沿x轴向 (φ>0)或向 f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则|x?x|的最小值为____ （I）求f(x)的定义域； （II）求f(x)的值域； (φ<0)平移 个单位，得到函数 的图象，最后将

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