n
30、在直线l上找一点 ，过定点 且垂直于直线l的向量为n，则定点 到直线l的距离为d cos ,n ． n
31、点 是平面 外一点，
n
． d cos ,n n
是平面 内的一定点，n为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为
数学选修2-2
导数及其应用 一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
f(x0 x) f(x0)
瞬时速率。一般的，函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是lim，
x 0
x
f(x0 x) f(x0)我们称它为函数y f(x)在x x0处的导数，记作f (x0)或y |x x0，即f (x0)=lim
x 0
x
2. 导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是k f(xn) f(x0)，
n
xn x0
当点Pn趋近于P时，函数y f(x)在x x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k limf(xn) f(x0) f (x)
x 0xn x03. 导函数：当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. y f(x)的导函数有时也记作y ,即
f (x) lim
f(x x) f(x)
x
x 0
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若f(x) c(c为常数)，则f (x) 0； 2 若f(x) x ,则f (x) x 1; 3 若f(x) sinx,则f (x) cosx 4 若f(x) cosx,则f (x) sinx; 5 若f(x) ax,则f (x) axlna 6 若f(x) e,则f (x) ex
x
7 若f(x) loga,则f (x)
x
1xlna
8 若f(x) lnx,则f (x)
1x
导数的运算法则
1. [f(x) g(x)] f (x) g (x) 2. [f(x) g(x)] f (x) g(x) f(x) g (x) 3. [
f(x)g(x)
]
f (x) g(x) f(x) g (x)
[g(x)]
2
复合函数求导
y f(u)和u g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y f(g(x))为一个复合函数y f (g(x)) g (x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(a,b)内
(1)如果f (x) 0，那么函数y f(x)在这个区间单调递增；(2)如果f (x) 0，那么函数y f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y f(x)的极值的方法是: （1）如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极大值;
（2）如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数y f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y f(x)在(a,b)内的极值； （2）
将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值
f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另
一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且n N)结论都成立。 考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 2.
数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如a bi(a R,b R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数a bi(a R,b R)中,当b 0,就是实数; b 0,叫做虚数;当a 0,b 0时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设z1 a bi,z2 c di(a,b,c,d R)则
（1）z1 z2 (a c) (b d)i （2）z1 z2 (ac bd) (ad bc)i （3） z1 (ac bd) (ad bc)i(z 0)
222
z2
c d
2,几个重要的结论
(1) |z1 z2|2 |z1 z2|2 2(|z1|2 |z2|2) (2) z z |z|2 |z|2 (3)若z为虚数,则|z|2 z2 3.运算律 (1) z z z
m
n
m n
;(2) (z) z
mnmn
;(3)(z1 z2) z1 z2(m,n R)
nnn
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）i 1 （2）i i （3）i 1 （2）i i
2
3
4
n
n 2
i
n 3
i
n 4
0
数学选修2－3
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．．．
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