高中数学选修知识点总结(2)

b，则 a b

a

，

．

3、实数 与空间向量a的乘积 a是一个向量，称为向量的数乘运算．当

0

时， a与a方向

相同；当 0时， a与a方向相反；当 0时， a为零向量，记为0． a的长度是a

的长度的

倍．

4、设 ， 为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律： a b a b；结合律： a a．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b b 0 ，a//b的充要条件是存在实数 ，使a b．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 x y C；或对空间任一定点

，有 x y C；或若四点 ， ， ，C共面，则 x y z C x y z 1 ．

9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点 ，作 a， b，则 称为向量a，b的夹角，记作 a,b ．两

个向量夹角的取值范围是： a,b 0, ．

10、对于两个非零向量a和b，若 a,b

，则向量a，b互相垂直，记作a

2

b．

cos a,b ．零向量与任何向

11、已知两个非零向量a和b，则abcos a,b 称为a，b的数量积，记作a b．即a b

量的数量积为0．

12、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos a,b 的乘积．

13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有

1

2a b a b 0；

； e a a e acos a,e

3

aba与b同向

2 ，a a a，a a b

aba与b反向

a ；5 4 cos a,b b a b ab． ab

14量数乘积的运算律：

1 a b b a； 2 a a b a b b； 3

a b c a c b ．c

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组 x,y,z ，使得p

xa yb zc．

16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是 pp xa yb zc,x,y,z R ．这个集合可看作是由向量a，

b，c生成的， a,b,c 称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

17、设e1，e2，e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点 为原点，

分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把

它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 p．存在有序实数组 x,y,z ，使得p xe1 ye2 ze3．把x，y，z称作

向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p x,y,z ．此时，向量p的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 x,y,z ．

18、设a x1,y1,z1 ，b x2,y2,z2 ，则

（1）a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ．

（2）a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ．

（3） a x1, y1, z1 ． （4）a b x1x2 y1y2 z1z2．

（5）若a、b为非零向量，则a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0．

（6）若b 0，则a//b a b x1 x2,y1 y2,z1 z2．

（7

）a

a （8

）cos a,b b ab

（9） x1,y1,z1 ， x2,y2,z2 ，则

d

19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示．向量 称为点 的位置向量．

20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线l上一点，向量a表示直线l的方向

向量，则对于直线l上的任意一点 ，有 ta，这样点 和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上

的任意一点．

21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为a，b．

为平面 上任意一点，存在有序实数对 x,y

，使得 xa yb，这样点 与向量a，b就确定了平面 的位置．

22、直线l垂直 ，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面 的法向量．

23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，

则a//b a//b a b R ，a b a b a b 0．

24、若直线a的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a ，

则a// a// a n a n 0，a a a//n a n．

25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为a，b，则

// a//b a b， a b a b 0．

a b．

cos ab

l n．

cos ln

26、设异面直线a，b的夹角为 ，方向向量为a，b，其夹角为 ，则有

cos

ll27、设直线的方向向量为l，平面 的法向量为n，与 所成的角为 ，l与n的夹角为 ，则有

sin

28、设n1，n2是二面角

l

的两个面 ， 的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若

n2． n2

二面角 l 的平面角为

n1

，则cos n1

29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算．

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说英语学习高中数学选修知识点总结(2)在线全文阅读。