初中几何辅助线大全(3)

C

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中

图4 1

M

ED MD(辅助线的作法)

∵ EDF FDM(已证)

DF DF(公共边)

∴△EDF≌△MDF （SAS）

∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF

注：上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角

形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证

A

结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中

BD CD(已证) ADC EDB(对顶角相等)

AD ED(辅助线的作法)

∴△ACD≌△EBD （SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。

图5 1

E

A

F

B

CD

图5 2

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中

N

图6 1

B

AN AC(辅助线的作法)

∵ 1 2(已知) AP AP(公共边)

∴△APN≌△APC （SAS）

∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC

证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中

AB AM(辅助线的作法) ∵ 1 2(已知)

AP AP(公共边)

∴△ABP≌△AMP （SAS）

∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中

E

A

B

E E(公共角)

∵ DBE CAE(已证)

BD AC(已知)

∴△DBE≌△CAE （AAS）

∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。

D

图7 1

C

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

证明：连接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC （已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC与△CDA中

A1

3

D2C

1 2(已证)

∵ AC CA(公共边)

3 4(已证)

∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

B

图8 1

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与

F∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

A

B

E

图9 1

C

1 2(已知)

∵ BE BE(公共边)

BEF BEC(已证)

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=

1

CF （全等三角形对应边相等） 2

∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

BAC CAF(已证)

BDA BFC(已证)

AB＝AC(已知)

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：连接BC，在△ABC和△DCB中 AB DC(已知)

∵ AC DB(已知)

BC CB(公共边)

A

D

B

图10 1

C

∴△ABC≌△DCB (SSS)

∴∠

A＝∠D (全等三角形对应边相等)

十一、取线段中点构造全等三有形。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN

AN DN(辅助线的作法)

中 ∵ A D(已知)

AB DC(已知)

∴△ABN≌△DCN （SAS）

∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）

在△NBM与△NCM中

A

D

B

M

图11 1

C

NB＝NC(已证)

∵ BM＝CM(辅助线的作法)

NM＝NM(公共边)

∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。

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