2015全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)(2)

根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四

B(

林

1∠FCB=∠FBL=∠FBE∠ABC，

2

即∠ABC=2∠FCB． …………………50分

教

∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK，

州奥

∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC，

1

又由BK平分∠ABC知，∠LBC∠ABC，从而∠ABC=2∠FCB．

2

…………………50分

四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，2(k 1)n+1不整除

(kn)!

． n!

熟知

杭

点共圆，得

解：对正整数m，设ν2(m)表示正整数m的标准分解中素因子2的方幂，则

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

ν2(m!)=m S(m)， ①

这里S(m)表示正整数m在二进制表示下的数码之和．

由于2(k 1)n+1不整除

(kn)! (kn)!

等价于ν2 ≤(k 1)n，即n!n!

kn ν2((kn)!)≥n ν2(n!)， 进而由①知，本题等价于求所有正整数k，使得S(kn)≥S(n)对任意正整数n成立． …………………10分

我们证明，所有符合条件的k为2a(a=0,1,2, )．

一方面，由于S(2an)=S(n)对任意正整数n成立，故k=2a符合条件． …………………20分 另一方面，若k不是2的方幂，设k=2a q，a≥0，q是大于1的奇数． 下面构造一个正整数n，使得S(kn)<S(n)．因为=S(kn)S=(2aqn)S(qn)，

m

因此问题等价于我们选取q的一个倍数m，使得S(m)<S ．

q

知，u可以取 (q)．）

设奇数q的二进制表示为2α1+2α2+ +2αt,0=α1<α2< <αt,t≥2． 取m=2α1+2α2+ +2αt 1+2αt+tu，则S(m)=t，且

m=q+2αt(2tu 1)≡0(modq)．

我们有

杭

tuu

mαt2 1αt2 112 12 1+2u+ +2(t 1)u) =+=+(qqq

2u 1lu+αt

． ② 1+∑ 2

ql=0

t 1

2u 1u2u 1

由于0<的二进制表示中的最高次幂小于u，由此<2,故正整数

qq2u 1iu+αt2u 1ju+αt

易知，对任意整数i,j(0≤i<j≤t 1)，数与的二进制表示2 2

qq

州奥

由(2,q)=1，熟知存在正整数u，使得2u≡1(modq)．（事实上，由欧拉定理

林

教

育

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

中没有相同的项．

2u 1lu+αt

又因为αt>0，故2(l=0,1, ,t 1)的二进制表示中均不包含1，故

q

由②可知

2u 1 m

S =1+S t>t=S(m)， qq

因此上述选取的m满足要求．

综合上述的两个方面可知，所求的k为2a(a=0,1,2, )． ……………50分

杭

州奥

林

教

育

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说公务员考试2015全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)(2)在线全文阅读。