2015全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

2015年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n≥2)是实数，证明：可以选取

ε1,ε2, ,εn∈{1, 1}，使得

n n n2

∑ai + ∑εiai ≤(n+1) ∑ai ． = i1= i1 = i1

证法一：我们证明：

n

2 2 nn

n2

∑ai + ∑ai ∑aj ≤(n+1) ∑ai ， ① = i1= i1 i1 n ==j +1

2

22

n n

（这里，[x]即对i=1, , ，取εi=1；对=i +1, ,n，取εi= 1符合要求．

2 2

表示实数x的整数部分．） …………………10分

事实上，①的左边为

州奥

2 ∑ai i=1

n 2

2

n n 2 2 nn

aaaa ++∑∑j j ∑i ∑i

= n n i1= i1 jj 2 +1 2 +1

2

林

2

n

2a+∑j

n = j +1 2

n

n 2

n+1 n n n+1 2 a 2 ∑ai2 +2 （利用） n ∑j 2 i=1 2 = 2 2 n j +1

2

n

n 2 ≤n ∑ai2 +(n+1) ∑a2j （利用[x]≤x）

n = i=1 j +1 2

杭

n

n 2

n n

≤2 ∑ai2 +2 n ∑a2j （柯西不等式） …………30分 2 i=1 2 = n j +1

2

教

2

育

2

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n2

≤(n+1) ∑ai ，

i=1

所以①得证，从而本题得证． …………………40分

证法二：首先，由于问题中a1,a2, ,an的对称性，可设a1≥a2≥ ≥an．此

外，若将a1,a2, ,an中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ai 不

i=1 减，而右边的∑ai2不变，并且这一手续不影响εi=±1的选取，因此我们可进一

i=1n

n

2

步设a1≥a2≥ ≥an≥0． …………………10分

引理：设a1≥a2≥ ≥an≥0，则0≤∑( 1)i 1ai≤a1．

i=1n

事实上，由于ai≥ai+1=(i1,2, ,n 1)，故当n是偶数时，

i=1n

当n是奇数时，

∑( 1)

i=1

杭

引理得证． …………………30分

回到原题，由柯西不等式及上面引理可知

2

2

n n n2 2i 1

∑ai + ∑( 1)ai ≤n ∑ai +a1 == i1= i1 i1

≤(n+1)∑ai2，

i=1n

这就证明了结论． …………………40分

州奥

i=1n

i 1

i 1 ai=a1 (a2 a3) (an 2 an 1) an≤a1． (1)∑

ai=(a1 a2)+(a3 a4)+ +(an 2 an 1)+an≥0，

∑( 1)

i=1

n

i 1

ai=a1 (a2 a3) (an 1 an)≤a1．

林

∑( 1)

n

i 1

ai=(a1 a2)+(a3 a4)+ +(an 1 an)≥0，

教

育

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

二、（本题满分40分）设S={A1,A2, ,An}，其中A1,A2, ,An是n个互不相，满足对任意Ai,Aj∈S，均有Ai Aj∈S．若同的有限集合（n≥2）

k

min|Ai|≥2．证明：存在x∈ Ai，使得x属于A1,A2, ,An中的至少

1≤i≤n

n

i=1

n

个集k

合（这里X表示有限集合X的元素个数）．

证明：不妨设|A1|=k．设在A1,A2, ,An中与A1不相交的集合有s个，重新记为B1,B2, ,Bs，设包含A1的集合有t个，重新记为C1,C2, ,Ct．由已知条件，(Bi A1)∈S，即(Bi A1)∈{C1,C2, ,Ct}，这样我们得到一个映射

f:{B1,B2, ,Bs}→{C1,C2, ,Ct}，f(Bi)=Bi A1．

显然f是单映射，于是s≤t． …………………10分

下的n s t个集合中，设包含ai的集合有xi个（1≤i≤k），由于剩下的n s t个集合中每个集合与A1的交非空，即包含某个ai，从而

x1+x2+ +xk≥n s t． …………………20分

州

奥

1≤i≤k

不妨设x1=maxxi，则由上式知x1≥

包含a1，因此包含a1的集合个数至少为

n s tn s+(k 1)tn s+t

（利用k≥2） +t≥

kkk

n

≥（利用t≥s）． ……………40分

k

三、（本题满分50分）如图， ABC内接于圆O，P为 上一点，点K在线段AP上，使得BK平分∠ABC．过BC

K、P、C三点的圆 与边AC交于点D，连接BD交圆

于点E，连接PE并延长与边AB交于点F．证明：

∠ABC=2∠FCB．

杭

包含a1的集合至少有

n s t

个．又由于A1 Ci（i=1, ,t），故C1,C2, ,Ct都k

林

设A1={a1,a2, ,ak}．在A1,A2, ,An中除去B1,B2, ,Bs,C1,C2, ,Ct后，在剩

n s t

，即在剩下的n s t个集合中，k

教

育

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

证法一：设CF与圆Ω交于点L（异于C），连接PB、PC、BL、KL． 注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆Ω上，结合A、B、P、C四点共圆，可知

∠FEB=∠DEP=180° ∠DCP=∠ABP=∠FBP，

2

因此 FBE∽ FPB，故FB=FE FP． …………………10分

又由圆幂定理知，FE FP=FL FC，所以

2

FB=FL FC，

从而 FBL∽ FCB． …………………20分

因此

即B、K、L三点共线． …………………30分

再根据 FBL∽ FCB得，

证法二：设CF与圆 交于点L（异于C）．对圆内接广义六边形DCLKPE应用帕斯卡定理可知，DC与KP的交点A、CL与PE的交点F、LK与ED的交点B′共线，因此B′是AF与ED的交点，即B′=B．所以B、K、L共线． …………………30分

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