第一章 线性代数行列式3

第一章 行列式1.3 克莱默(Cramer)法则 克莱默(Cramer)法则

如何求解一个n元一次线性方程组？ 如何求解一个n元一次线性方程组？ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 , m 和n不一定相等。 不一定相等。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm 特别的当 m = n时，方程组为

a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn xn = bm

a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 设非齐次线性 线性方程组 定理 设非齐次线性方程组 LLLLLLLLLLL 或简记为 a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn n

克拉默(Cramer)法则 克拉默(Cramer)法则 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 (Cramer)

∑aj=i

ij

x j = bi ,a11 a 21 M a n1

i = 1,2 , L , n

其系数行 列式 D=

a12 L a1n Dj a 22 L a 2 n ≠0时， 则方程组有唯一解 x j = D M M a n 2 L a nn第j 列

其中

a11 L a1, j 1 b1 a1, j +1 L a1n L a21 L a2, j 1 b2 a2, j +1 L a2n j = 1, 2,L,n Dj = M M M M M an1 L an, j 1 bn an, j +1 L ann

证明

1 n (1)先验证x j = = ∑ bk Akj ( j = 1,2,L, n)是方程组的解 : D D k =1n 1 n n 1 n 1 n ∑ aij D ∑ bk Akj = D ∑ aij ∑ bk Akj = D ∑∑ aij bk Akj k =1 j =1 j =1 j =1 k =1 k =1 n 1 n 1 n 1 = ∑ bk ∑ a ij Akj = ∑ bk δ ik D = bi D = bi D k =1 j =1 D k =1 D n

Dj

(2)证明解唯一 (2)证明解唯一

设(c1, c2, …, cn)是满足方程组的解

a11c1 + a12 c 2 + L + a1n c n = b1 × A1 j a 21c1 + a 22 c 2 + L + a 2 n c n = b2 × A2 j LLLLLLLLLLL L +) a n1c1 + a n 2 c2 + L + a nn cn = bn × Anj( ∑ a i 1 Aij )c1 + L ( ∑ a ij Aij )c j + L + ( ∑ a in Aij )c n =i =1 i =1 i =1 n n n

∑

n

i =1

b i A ij

cj =

Dj D

推论

若齐次线性方程组

∑aj =1

n

ij

xj = 0

(i = 1,2,L, n )n

的系数行列式 D = a ij 1 ≠ 0,

则方程只有零解 x j = 0, j = 1,2,L n.思考：这个推论的逆否命题是什么。 思考：这个推论的逆否命题是什么。 对于非齐次线性方程组又有什么样的结论？ 对于非齐次线性方程组又有什么样的结论？

例1 求三次多项式 f ( x ) = a + a x + a x 2 + a x 3,使得 0 1 2 3

f ( 1) = 0, f (1) = 4, f (2 ) = 3, f (3 ) = 16.

提示： 个点的坐标分别代入三次曲线的方程, 提示： 4个点的坐标分别代入三次曲线的方程,得到非齐次线性方程组 将Cramer法则可得系数行列式 a0 + a1 ( 1) + a 2 ( 1)2 + a 3 ( 1)3 = 0 由Cramer法则可得系数行列式 2 3 1 1 ( 1) ( 1) a 0 + a1 1 + a 2 1 2 + a 3 1 3 = 4 1 1 12 13 D= = 48, 2 3 a 0 + a1 2 + a 2 2 2 + a 3 2 3 = 3 1 2 2 2 2 3 a0 + a1 3 + a2 3 + a 3 3 = 16 1 3 32 33

0 4 D0 = 3 16

1 1 2 3

( 1)2 ( 1)312 22 32 13 23 33

1 0 1 4 = 336, D1 = 1 3 1 6

( 1)2 ( 1)312 22 32 13 23 33 = 0,

D2 = 240, D3 = 96.

故a0 = 7, a1 = 0, a 2 = 5, a 3 = 2.

取何值时， 例2 问λ取何值时，齐次线性方 程组 (5 - λ )x + 2 y + 2 z = 0 2 x + (6 - λ ) y = 0 2 x + (4 λ )z = 0

有非零解？ 有非零解？

5 λ D= 2 2

2 6 λ 0

2 0 4 λ

= (5 λ )(2 λ )(8 λ ).

所以λ = 2,5, 或8.

例3

设线性方程组 (1 + a ) x1 + x 2 +... + xn = 0 2 x + (2 + a ) x + ... + 2 x = 0 1 2 n ....... nx1 + nx2 + ... + (n + a ) x n = 0 1 L 1

a取何值时，方程组有非零解？1+ a

提示 2 D= M n

2+a L 2 M L M n L n+a

1 1 n(n + 1) 2 2+a = + a 2 ... n n

... ... ...

1 2

... n + a

1 1 ... 1 n(n + 1) 0 a ... 0 n(n + 1) = + a = + a a n 1 = 0 ... 2 2 ... 0 0 ... a

本章主要内容二阶， P2页 二阶，三阶行列式的展开法则 P2页。 P4页 n阶行列式的递归定义 P4页余子式和代数余子式的概念， 余子式和代数余子式的概念，性质 P5,6,18,19页 特殊行列式公式 P5,6,18,19页 P4,11页 P4,11页

n阶行列式的性质与计算 数字行列式，字母行列式恒等式，n阶行列式的计算 数字行列式，字母行列式恒等式， Cramer法则及推论 Cramer法则及推论

习题1 习题1

的直线方程( 表示)。 求平面上过两点 ( x1 , y1 )和( x 2 , y2 )的直线方程(用行列式 表示)。

提示： 不全为零。 提示：设直线方程为 ax + by + c = 0.a , b不全为零。

c

y1

x1

c

c ax1 + by1 = c ,a = 得方程组 x1 ax 2 + by2 = c x2

y2 x2 c ,b = . y1 x1 y1 y2 x2 y2

1 故直线方程为 1

y1 1 x1 x1 cx + cy + y2 1 x2 x2

y1 c=0 y2

1

x

y y1 = 0. y2

即 1 x1 1 x2

习题2 习题2

x1 a1 计算 n阶行列式 a1 M a1a2 x2 a2 0 M 0 a3 0 L L an 0 0 M

a2 x2 a2 M a2

a3 a3 x3 M a3

L L L O L

an an an . M xn

( xi ≠ ai ).

x1 a1 x1 D = a1 x1 M a1 x1

x3 a3 L M O 0

L xn an

= ∏ (x j a j )n j =1

x1 x1 a1 1 1 M 1

a2 x2 a2 1 0 M 0

a3 x3 a3 0 1 M 0

L L L O L

an xn an 0 0 M 1

n aj 1 + ∑ = ∏ (x j a j ) j =1 j =1 x j a j n

.

习题3 习题3

用递推法计算行列式a M L a L M O M L L b M N M b M

L a b L M L b a L M O M M N M M

b L b L

L a L a2 2

提示： 提示： D2 n = a b D2(n 1 ) = L = a b2

(

)

(

2 n

).

习题4 习题4 用数学归纳法证明行列式cos θ 1 Dn = 1 2 cos θ O 1 O 1 ... O 2 cos θ 1 1 2 cos θ1 2 cos θ 0 0 ... 1 ... ... 0 ... 0 0 ... 2 cos θ

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