《磁场》高考专题复习资料(2)

三 带电粒子在磁场中的运动

一、洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的作用力。通电导线在磁场中所受安培力是洛伦兹力的宏观表现。 二、洛伦兹力的大小：

若有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电量为q，定向移动的平均速率为v，将这段导线垂直于磁场方向放入磁感应强度为B的磁场中.

这段导体所受的安培力为：F安=BIL 电流强度I的微观表达式是：I=nqSv

这段导体中含有多少自由电荷数为：N=nLS.

所以每个自由电荷所受的洛伦兹力大小为：

f?F安N＝BILnqvSLB???qv BnLSnLSnLSF安即当带电粒子以垂直于磁场方向的速度进入匀强磁场时，所受到的洛仑兹力为f=qvB，思考：当带电粒子进入匀强磁场的速度方向与磁场方向不垂直而有一定夹角时，粒子所受的洛仑兹力大小应如何考虑？（沿速度方向和垂直于速度方向分解磁感应强度或沿磁感应强度方向和垂直于磁感应强度方向分解速度） 三、洛仑兹力的方向的判断——左手定则

伸开左手，使大拇指和其余四指垂直且处于同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，若四指指向正电荷运动的方向，那么拇指所受的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向；运动负电荷所受的洛仑兹力的方向与正电荷所受的洛仑兹力的方向相反。

根据左手定则可知在任何情况下粒子所受的洛仑兹力的方向都与粒子的速度方向以及磁感应强度方向垂直。

四、粒子在匀强磁场中只受洛仑兹力作用下的运动：

1．带电粒子垂直进入匀强磁场中，粒子在垂直磁场方向的平面内做匀速圆周运动，由于任何情况下洛仑兹力的方向与粒子的速度方向垂直所以洛伦兹力不做功。

2．根据粒子进入磁场时所受的洛仑兹力方向，确定粒子做圆周运动的绕行方向。判断的方法是：洛仑兹力提供向心力，即粒子所受的洛仑兹力的方向始终指向圆心。

3．一带电量为q，质量为m ,速度为v的带电粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中。粒子做匀速圆周运动所需的向心力F=m

v2v2r是由粒子所受的洛伦兹

mvqB力提供的，根据牛顿第二定律有：qvB=m

r 由此得出 r=

2?mqB

根据描述圆周运动物理量间的关系：T=

2?rv?可得T=

2?mqB

4

所以带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径及周期公式：r=

2?mqBmvqB

T=说明：（1）轨道半径和粒子的运动速率成正比。（2）带电粒子在磁场中

做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速率无关

4．讨论：在匀强磁场中如果带电粒子的运动方向不和磁感应强度方向垂直，它的运动轨道是什么样的曲线？

分析：当带电粒子的速度分别为垂直于B的分量v1和平行于B的分量v2，因为v1和B垂直，受到洛伦兹力qv1B，此力使粒子q在垂直于B的平面内做匀速圆周运动，v1和B平行，不受洛伦兹力，故粒子在沿B方向上做匀速曲线运动，可见粒子的运动是一等距螺旋运动。

五、粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的求解：解题思路为，确定粒子做匀速圆周运动的圆心，根据确定圆心得出的平面几何图形，利用平面几何知识确定粒子做匀速圆周运动的半径。确定半径的方法为：1.粒子在不同位置所受洛仑兹力方向的交点（最少需要两个洛仑兹力的方向）2.粒子做圆周运动轨迹的一条弦的垂直平分线与一个洛仑兹力方向的交点。解决问题时涉及粒子做圆周运动的时间要考虑粒子做圆周运动所转过的圆心角，根据周期来求解；或根据线速度的定义有t=s/v求解。

例1：如图所示，初速度为v0的离子在匀强磁场边界的中央垂直入射，经过一段路程后进入MN和PQ两板之间的匀强磁场。匀强磁场的磁感应强度为B，不计重力，粒子的带电量和质量之比为q/m在范围内粒子才能打在金属板上？ （答案：

4v017Bd?qm?4v05Bd）

例2：如图所示，一束电量为e的电子以速度v射入磁感应强度为B的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向偏转了300角，求电子的质量及穿透磁场所需的时间？ （答案：m?2dBev t??d3v）

y 练1：如图所示，在空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，今有质量为m，电荷量为e的电子从坐标原点O以速度v射入，方向与y轴的负方向成30°角，这个电子在xOy平面内做匀速圆周运动，其轨迹中心C的横坐标x＝ ① ，它从原点O出发到第一次通过Ox轴所用的时间 ② . 解：如图所示，O1为圆周运动的圆心，而轨迹中心C点与圆心O1的横坐标相同. ∵∠O1OD＝30°且R＝ ∴x＝-Rcos30°＝-

mveB e O B v 30° x y

v D O O1 v C x 3mv2eB

5

由OCD弧所对的圆心角为240°， 则t＝

240?2πm4πm?＝360?eB3eB3mv2eB

答案：①- ②

4πm3eB练2：如图a所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面M 的交线，在右侧的半空间存在一磁感强为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外. O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电O 荷量为+q、质量为m、速率为?的粒子，粒子射入磁场时的速度

P 可在纸面内各个方向. 已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给

定的P点相遇，P到O的距离为L.不计重力及粒子间的相互作用.

N (1) 求所考察的粒子在磁场中的轨道半径. a (2) 求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.

解：(1)设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有

q?B＝m?R2，得R＝m?. ①

qB(2)如图b所示，以OP为弦可画两个半径为R相同的圆，圆心和直径分别为O1、O2和OQ1、OQ2，θ表示两粒子入射方向的夹角. 在P点相遇时，粒子1所用的时间

t1＝12T?θ2πO M ??T. ②

O2 ??Q2 N b O1 ?Q1 ?P 粒子2所用的时间

t2＝12T?θ2π?T. ③

θ2π 两粒子的时间间隔 Δt＝t1?t2＝2? R?cos?2＝12?T＝

2?mqB (其中T＝L2R2πmqB) ④

L得θ＝2arccos4mqB. ⑤

LqB2m? 由①④⑤式得，Δt＝答案: (1) R＝

m?qBarccos

4mqB. ⑥

LqB2m?, (2)Δt＝arccos.

四 带电粒子在复合场中的运动

一、常见仪器

1．速度选择器（带电粒子垂直进入E和B相互垂直的叠加场）： 如图所示，平行板电容器中，电场E和磁场B相互垂直，如果电荷q具有适当的速度垂直于场强方向进入两板之+qE间，粒子所受的电场力F和洛仑兹力f平衡，粒子将沿直线

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