数学_高考数学解三角形复习资料(3)

B.直角三角形 D.等边三角形

25310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B?

?4

（II）由（I）知C?由

3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1 ∴ 2b?b?∴ a?2,c?2? 1 ∴ b?1

5北

题型7：正余弦定理的实际应用 例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D

同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶。测于水面A处测得B点和D点的分别为750，300，于水面C处测

10 ?C A 都在

20 B

?

B，D量船仰角得B

点和D点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=

ABAC?,sin?BCAsin?ABC

ACsin60?32?6?,sin15?20

因此，BD=

32?6?0.33km。20故B，D的距离约为0.33km。 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，

N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤

?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；

B点到M，

N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?第二步：计算AN . 由正弦定理AN?第三步：计算MN. 由余弦定理

MN?AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) .

dsin?2 ；

sin(?1??2)dsin?2 ；

sin(?2??1)方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?第二步：计算BN . 由正弦定理BN?第三步：计算MN . 由余弦定理

MN?BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2) dsin?1 ；

sin(?1??2)dsin?1 ；

sin(?2??1)21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分

别为a、b、c，且sinA?（I）求A?B的值；

（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA?

510,sinB? 510510,sinB? 510∴ cosA?1?sin2A?25310 ,cosB?1?sin2B?510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4

3?2，∴ sinC? 42（II）由（I）知C?由

abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1 ∴ 2b?b?∴ a?2,c?

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t)?t?4，这些解题思维的拐点，

t2? 1 ∴ b?1

5你能否很快的想到呢？

五．【思维总结】

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；

（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求

B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。

2．三角形内切圆的半径：r?a?b?c斜2S?，特别地，r直?； a?b?c23．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b?a?cosC?c?cosA，… 4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，A?B?sinA?sinB，… 5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。

2．三角形内切圆的半径：r?a?b?c斜2S?，特别地，r直?； a?b?c23．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b?a?cosC?c?cosA，… 4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，A?B?sinA?sinB，… 5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

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